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Continuação de Séries de Fourier 5 – Problemas II 

Problema 7

Faça, para a função

f(x)= \left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.

do problema 6.1, a representação gráfica da soma parcial da respectiva série para um número crescente de harmónicas.

Resolução

f(x)\sim\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi }\cos x-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x+\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x-\cdots +\dfrac{2}{(2m+1)\pi }\sin \dfrac{(2m+1)\pi}{2}\cos \left( 2m+1\right)+\cdots

Primeiras somas parciais da série de Fourier representativa da função f(x)

 \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots

Gráfico da função f(x) — onda quadrada (a vermelho) no intervalo \lbrack -\pi ,\pi \rbrack  – e as somas parciais dos cinco primeiros termos da sua série de Fourier

f(x)= \dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)

Em virtude de f\left( x\right) ser par b_{n}=0

f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx

Os coeficientes a_{n} são

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots

a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1

a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }

a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }

a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=\dfrac{2}{5\pi }

a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }

a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0

Valor médio

\dfrac{1}{2}

Fundamental

\dfrac{2}{\pi }\cos x

3ª harmónica

-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x

5ª harmónica

\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x

7ª harmónica

-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{7}\cos 7x

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

Dada uma função f\left( x\right) definida no intervalo x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack , se f\left( x\right) satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para \dfrac{1}{2}\lbrack f\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack . Mas, o que é que acontece fora do intervalo \lbrack -\pi,\pi\rbrack ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de f\left( x\right) . Se f\left( x\right) for periódica de período 2\pi , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo a_{1}\cos x+b_{1}\sin x designamo-lo por fundamental, o termo a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx , harmónica de ordem n

Algumas propriedades dos coeficientes de Fourier

  1. Se f(x) for par:  f(x)=f(-x), b_n=0
  2. Se f(x) for ímpar: f(x)=-f(-x), a_n=0
  3. Se f(x) tiver duas alternância, sendo uma a imagem num espelho da outra: f(x)=-f(x+\pi), a_n=b_n=0, para n par
  4. Se f(x) for periódica de período \pi: f(x)=f(x+\pi), a_n=b_n=0, para n ímpar. 

Problema 8

Demonstre que qualquer função f(x) definida no intervalo \lbrack 0,\pi \rbrack e satisfazendo as condições de Dirichlet neste intervalo é representável pela série

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin nx

para x\in\lbrack 0,\pi \rbrack, que esta série converge para

\dfrac{1}{2}\lbrack f(x^{+})+f(x^{-})\rbrack

e escreva a expressão dos coeficientes c_n.

Resposta

c_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx

Actualização de 20-11-2008: incluído pdf e feitas pequenas correcções.