Matemática A – 12.º ano – Resolução de cinco questões do Exame da 1ª Fase; links para 2009

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA SPM NO CM DE HOJE:
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Para ampliar clique aqui

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Actualização da minha entrada

http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/06/23/matematica-a-exame-nacional-do-ensino-secundario-1%c2%aa-fase/

INCLUÍ

Questão 1 do Grupo II e sua resolução:

Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere z_{1}=1-\sqrt{3}i e z_{2}=8\text{ cis }0 (i designa a unidade imaginária).

1.1. Mostre, sem recorrer à calculadora, que \left( -z_{1}\right)  é uma raíz cúbica de z_{2}.

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Resolução algébrica:

Como

-z_{1}=-\left( 1-\sqrt{3}i\right) =-1+\sqrt{3}i

z_{2}=8\text{ cis }0=8\cos 0+i\sin 0=8,

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para mostrar que -1+\sqrt{3}i é uma raíz cúbica de 8 basta verificar que \left( -1+\sqrt{3}i\right) ^{3}=8:

\left( -1+\sqrt{3}i\right) ^{3}=\left( -1+\sqrt{3}i\right) ^{2}\left( -1+\sqrt{3}i\right)

 =\left( -2-2\sqrt{3}i\right) \left( -1+\sqrt{3}i\right) =2-2\sqrt{3}i+2\sqrt{3}i+2\times 3=8

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1.2. No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de z_{1}
e de z_{3}=z_{1}\cdot i^{46}, respectivamente.

Determine o comprimento do segmento [AB].

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Resolução  algébrica:

i^{46}=\left( i^{2}\right) ^{23}=\left( -1\right) ^{23}=-1

z_{3}=z_{1}\cdot i^{46}=-z_{1}=-1+\sqrt{3}i

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\overline{AB}=\left\vert z_{1}-z_{3}\right\vert =\left\vert 1-\sqrt{3}i-\left( -1+\sqrt{3}i\right) \right\vert =\left\vert 2-2\sqrt{3}i\right\vert=2\left\vert 1-\sqrt{3}i\right\vert

=2\sqrt{1^{2}+\left( \sqrt{3}\right) ^{2}}=2\sqrt{1+3}=4.

Questão 2 do Grupo I:

2. Seja \Omega o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A\subset\Omega e B\subset \Omega ). Sabe-se que:

  • P(A\cup B)=80\%
  • P(B)=60\%
  • P(A\cap B)=10\%

Qual o valor de P(A)?

(P designa probabilidade).

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Resposta (C) porque

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

80\%=P(A)+60\%-10\% P(A)=80\%-60\%+10\%=30\%

Diagrama para clarificação adicional:

 

Fonte do diagrama: http://ferrao.org/2008/06/matemtica-das-bolinhas.html

ADENDAS:

  • de 24-6-2008

Questão 3 do Grupo II:

Em duas caixas, A e B, introduziram-se bolas indestinguíveis ao tacto:

  • na caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis;
  • na caixa B: três bolas verdes e quatro azuis.

Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B. De seguida, retira-se, também ao acaso, uma bola da caixa B.

Sabendo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a \dfrac{1}{2}, mostre que a bola que foi retirada da caixa A e colocada na caixa B tinha cor verde.

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Resolução:

Admitamos que a bola retirada da caixa A e colocada na caixa B era azul. Então, iriam ficar em B quatro bolas de cada cor. Ao retirar uma delas, passaria a haver três bolas de uma cor e quatro de outra. Assim sendo, a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul seria \dfrac{3}{7} ou \dfrac{4}{7}, em qualquer dos casos sempre diferente da hipótese do enunciado (\dfrac{1}{2}). Por este motivo, a bola que foi retirada da caixa A e colocada na caixa B tem de ser verde.

  • de 25-6-2008

Questão 1 do Grupo I:

    1. O joão e a Maria convidaram três amigos para irem, com eles, ao cinema. Compraram cinco bilhetes com numeração seguida, numa determinada fila, e distribuíram-nos ao acaso.
    Qual a probabilidade de o João e a Maria ficarem sentados um ao lado do outro?

Resposta (B) porque

Designando, sem perda de generalidade,  o número dos bilhetes por 1, 2, 3, 4 e 5,   os casos favoráveis são 4, correspondentes aos bilhetes do João e da Maria serem, independentemente da ordem 

    1 2
    2 3
    3 4
    4 5
    
e os desfavoráveis a 6

    3 casos: 1 3, 1 4, 1 5
    2 casos: 2 4, 2 5
    1 caso: 3 5
    
pelo que a probabilidade pedida é igual a  \dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.

Questão 4 do Grupo I:

4. Seja a um número real maior do que 1.

Qual dos seguintes valores é igual a 2\log _{a}\left( a^{\dfrac{1}{3}}\right) ?

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Resposta (D) porque

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2\log _{a}\left( a^{\dfrac{1}{3}}\right) =2\times \dfrac{1}{3}\times \log_{a}a=2\times \dfrac{1}{3}\times 1=\dfrac{2}{3}

[Alterado título para  (…) cinco questões (…), em vez de (…) duas questões (…)]

ADENDA DE 26-6-2008 : o comentário 1 refere-se à questão 6 do Grupo I da versão 1, e que transcrevo  parcialmente, tendo, para o efeito, seguido o link indicado (que é um comentário do professor Aristides Adão no blog “A Educação do meu Umbigo“)

 « (…)  um erro numa questão de escolha múltipla (…) estou a falar da representação gráfica da função derivada de uma outra função também representada graficamente (uma semi-recta e um arco de parábola) … é que nenhuma das hipóteses apresentadas podia em rigor representar a derivada da função inicial … no ponto comum da semi-recta e da parábola o declive da parábola (em módulo) é visivelmente muito superior ao da recta (também em módulo), (duas ou três vezes, à vista desarmada) e nas representações apresentadas como soluções aparecem iguais … é certo que este não era o cerne do problema, mas então o rigor matemático exigia que se dissesse que apreciação devia ser feita do ponto de vista do domínio da função derivada … aliás se esta não fosse uma questão de escolha múltipla e fosse pedido ao aluno que fizesse um esboço do gráfico da função derivada da função dada, nenhum critério de correcção aceitaria como certo as que a prova tem como hipóteses de escolha (…) »

ADENDA DE 27-6-2008: veja ainda sobre esta mesma questão o post de António Chaves Ferrão de 25-6-2008 em http://ferrao.org/:

http://ferrao.org/2008/06/aristides-ado-erro-no-exame-de.html

Nota da minha responsabilidade: os gráficos sobrepostos das funções f (a preto) e f' (a vermelho) serão qualquer coisa do tipo:

que foram construídos para o exemplo

    f(x)=x+1, se x\le 0

e

    f(x)= 3x^2-4x+1, se x>0

Neste exemplo, a título meramente ilustrativo, os declives das tangentes à esquerda e à direita do ponto de encontro dos dois ramos da função são, respectivamente, 1 e -4.

Como no ponto de encontro destes ramos de f a função não tem tangente, a sua derivada não existe.

2009

ADENDA DE  23.06.09: Provas em Matemática A – 635  de 2009 – Prova V1Critérios

ADITEI  a esta entrada

http://problemasteoremas.wordpress.com/2009/06/20/criacao-de-pagina-de-pontos-de-matematica-do-liceu-da-decada-de-1960/

a resolução  publicada no Público de 24.06.09 da Prova de 2009.

 

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Matemática A – 12.º ano – Resolução de cinco questões do Exame da 1ª Fase; links para 2009

  1. Caro Américo Tavares
    O professor Aristides Adão detectou um erro no enunciado desta prova, que passou aparentemente despercebido até à Sociedade Portuguesa de Matemática.
    Um abraço

  2. fabio dreher diz:

    uma pesso esta distante 80m da base de um predio e v~e o seu ponto mais alto sob um angulode 16º em relação a horizontal qual e a altura do predio ? dando tang (16º=0,287)

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