Séries de Fourier 4 – Problemas

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Continuação de Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica de Fourier

Problema 3 – Verifique que o sistema de funções \cos nx (n=0,1,2,3,\dots) não é completo no intervalo \lbrack a,b\rbrack.

Resolução

Não é possível definir funções ímpares à custa da soma dos cosenos.

  • Função par: f(x)=f(-x)
  • Função ímpar: f(x)=-f(-x)

Para que o sistema de funções \phi_{n}(x) seja completo é necessário que

\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\;dx =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2.

Considerando uma função ímpar I(x) não identicamente nula em \lbrack a,b\rbrack, verifica-se que os coeficientes da série de Fourier associada a I(x) são todos nulos:

c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}=\dfrac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}I(x)\cos nx\; dx}{||\phi_n||^2}=0 

I(x)\cos nx é o produto de uma função ímpar com uma função par e, portanto, este produto é uma função par. Dado o intervalo de integração, o integral do numerador é nulo. Nestas condições o integral \displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx que é maior do que zero, é com certeza maior do que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2 que é igual a zero. \blacktriangleleft

Problema 4 – Mostre que se um sistema de funções \phi_n(x)   é ortogonal e completo, uma função contínua f(x) que seja ortogonal a todas as funções do sistema é identicamente nula.

Resolução

Como f é ortogonal,

c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}=0

Sendo o sistema completo

\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum |c_{n}|^2||\phi_n||^2.

Como f é contínua, por hipótese, para que o seu quadrado possua um integral igual a zero, f tem de ser identicamente nula. \blacktriangleleft

Adenda de 10-7-2008: continua em Série de Fourier 5 – Problemas II

Actualização de 20-11-2008: incluído pdf

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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