Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica de Fourier

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Continuação de Séries de Fourier 2 – Relação de Parseval.

A série trigonométrica de Fourier é o caso particular das séries de Fourier que utiliza o sistema de funções ortogonais \cos nx e \sin nx:

1,\cos x,\cos 2x,\ldots ,\sin x,\sin 2x,\cdots

Sendo \delta _{nm} o delta de Kronecker

\delta _{nm}=\left\{\begin{array}{c}1\qquad n=m\\\text{0}\qquad n\neq m\end{array}\right.

os integrais envolvidos podem exprimir-se facilmente nos seguintes termos:

\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\;dx= \left\{\begin{array}{c}\pi\delta _{nm}\qquad n,m\neq 0\\2\pi\qquad n=m=0\end{array}\right.

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\sin mx\;dx=\pi\delta _{nm}

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\cos mx\;dx=0\qquad\forall n,m

Estas relações são válidas para qualquer outro intervalo de largura 2\pi.

Consideremos a seguinte série de Fourier

f\left( x\right) \sim\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)

em que o símbolo \sim significa que \dfrac{f(x)}{a_{o}/2+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) }\rightarrow 1 quando n\rightarrow\infty.

Os coeficientes a_{n} e b_{n} são os seguintes integrais

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\ldots

b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx\qquad n=1,2,3,\ldots

Admitamos que f\left( x\right) é uma função de quadrado integrável e que \phi _{n} é um sistema ortogonal; vimos que

c_{n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }{||\phi _{n}||^{2}}.

Neste caso os quadrados das três normas são dados por

||1||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }1^{2}\;dx=2\pi

||\sin nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2nx\right) \;dx=\pi

||\cos nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2nx\right) \;dx=\pi

e os coeficientes por

c_{1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{1}\right) }{||\phi _{1}||^{2}}=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \;dx=\dfrac{a_{o}}{2}

c_{2n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n}\right) }{||\phi _{2n}||^{2}}

=\dfrac{1}{||\cos nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=a_{n}

c_{2n+1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n+1}\right) }{||\phi_{2n+1}||^{2}}

=\dfrac{1}{||\sin nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=\frac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=b_{n}.

A série

\displaystyle\sum_{n}|c_{n}|^{2}||\phi _{n}||^{2}

é da forma

\displaystyle\sum_{n}\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)

que, sendo convergente, implica que a_{n}\rightarrow 0 e b_{n}\rightarrow 0.

É possível demonstrar que, para que a_{n},b_{n}\rightarrow 0 \left( n\rightarrow \infty \right) é suficiente que f\left( x\right) seja absolutamente integrável.

\bigskip

Teorema: se f\left( x\right) satisfizer as seguintes condições

  1. for injectiva;
  2. for limitada em x\in\lbrack a,b\rbrack ;
  3. tiver um número finito de máximos e mínimos;
  4. e tiver um número finito de descontinuidades de primeira espécie (quando existem limites finitos da função à esquerda e à direita do ponto da descontinuidade).

Então a série trigonométrica de Fourier converge para a seguinte quantidade

\dfrac{1}{2}\left[ f\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \right] =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right).

As condições anteriores, que se designam por condições de Dirichlet, são condições suficientes de convergência.

Nos intervalos em que a função é contínua, a convergência da série é uniforme. Se f\left( x\right) for contínua em todo o intervalo, a série trigonométrica de Fourier converge uniformemente em todo o intervalo.

Como consequência do teorema anterior, resulta que o conjunto das funções \sin nx, \cos nx é um conjunto completo para as funções que satisfazem as condições de Dirichlet, isto é

\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{4}2\pi +\displaystyle\pi \sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)

ou

\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)

que é a relação de Parseval neste caso.

 

Dada uma função f\left( x\right) definida no intervalo x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack , se f\left( x\right) satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para \dfrac{1}{2}\lbrack\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack . Mas, o que é que acontece fora do intervalo \lbrack -\pi,\pi\rbrack ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de f\left( x\right) . Se f\left( x\right) for periódica de período 2\pi , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo a_{1}\cos x+b_{1}\sin x designamo-lo por fundamental, o termo a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx , harmónica de ordem n .

\bigskip

Problema 1 – Mostre que o sistema de funções \sin nx, em que n=1,2,3,\ldots é ortogonal no intervalo \lbrack -\pi,\pi\rbrack e determine a respectiva norma.

\bigskip

Resolução

Num sistema ortogonal

\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\overline{\phi }_{m}\;dx\left\{\begin{array}{c}=0\qquad n\neq m\\>0\qquad n=m\end{array}\right.

A sua norma é dada por

\int_{a}^{b}|\phi _{n}|^{2}\;dx=||\phi _{n}||^{2}>0

Como fórmulas a aplicar, temos as seguintes trigonométricas

\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b

\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm\sin b\cos a

\cos 2a=\cos^{2}a-\sin ^{2}a=1-2\sin^{2}a=2\cos ^{2}a-1\qquad (a=b)

Donde

\sin a\sin b=\dfrac{\cos \left( a-b\right) -\cos \left( a+b\right) }{2}

\sin ^{2}a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\qquad (a=b)

Ora, como para n\neq m

\displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin nx\text{ }\sin mx\;dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi }\cos\left( n-m\right) x-\cos\left( n+m\right) x\;dx

=\dfrac{1}{2}\left\lbrack\dfrac{1}{n-m}\sin \left( n-m\right) x-\dfrac{1}{n+m}\sin\left( n+m\right) x\right\rbrack_{0}^{\pi }=0

e para n=m

||\sin nx||^{2}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}nx\text{ }dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi }1-\cos 2a\text{ }dx=\dfrac{\pi }{2}

o sistema é efectivamente ortogonal e a sua norma

||\sin nx||=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.

\bigskip

Problema 2 – Considere o sistema de funções

\cos n\pi\dfrac{x}{l}

com n=0,1,2,\ldots .

1. Mostre que o sistema é ortogonal no intervalo \lbrack 0,l\rbrack.

2. Deduza a expressão dos coeficientes da série de Fourier associados à função f\left( x\right) definida naquele intervalo.

3. Calcule o valor dos coeficientes de Fourier para f(x)=\dfrac{x}{t}

\bigskip

Soluções:

1.

\displaystyle\int_{0}^{l}\cos n\pi\dfrac{x}{l}\cos m\pi\dfrac{x}{l}\text{ }dx=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{l}{2}\qquad n=m\neq 0\\l\qquad n=m=0\\\text{0}\qquad\qquad n\neq m\end{array}\right.

2.

c_{n}=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int_{0}^{l}f\left( x\right) \cos n\pi\dfrac{x}{l}\text{}dx\\c_{0}=\dfrac{1}{l}\int_{0}^{l}f\left( x\right) \text{ }dx

3.

c_{n}=\left\{\begin{array}{c}0\qquad \qquad n\text{ par}\\-\dfrac{4}{n^{2}\pi^{2}}\qquad n\text { \'{\i}mpar}\end{array}\right.

c_{0}=\dfrac{1}{2}

Nota adicional: nestas condições

f\left( x\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right)

\dfrac{x}{t}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right)

Para x=0, vem

0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}

donde

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{8}.

 

 

Continua em Séries de Fourier 4 – Problemas

Actualização de 19-11-2008: incluído pdf e explicação sobre o significado do símbolo \sim ]

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica de Fourier

  1. Mano Paulo João Gimo diz:

    peço exemplo duma função absolutamente integrável na recta real

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