Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica de Fourier

Posted on Junho 9, 2008 por Américo Tavares

Continuação de Séries de Fourier 2 – Relação de Parseval.

A série trigonométrica de Fourier é o caso particular das séries de Fourier que utiliza o sistema de funções ortogonais $\cos nx$ e $\sin nx$ :

$1,\cos x,\cos 2x,\ldots ,\sin x,\sin 2x,\cdots$

Sendo $\delta _{nm}$ o delta de Kronecker

$\delta _{nm}=\left\{\begin{array}{c}1\qquad n=m\\\text{0}\qquad n\neq m\end{array}\right.$

os integrais envolvidos podem exprimir-se facilmente nos seguintes termos:

$\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\;dx=$ $\left\{\begin{array}{c}\pi\delta _{nm}\qquad n,m\neq 0\\2\pi\qquad n=m=0\end{array}\right.$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\sin mx\;dx=\pi\delta _{nm}$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi }\sin nx\cos mx\;dx=0\qquad\forall n,m$

Estas relações são válidas para qualquer outro intervalo de largura $2\pi$ .

Consideremos a seguinte série de Fourier

$f\left( x\right) \sim\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$

em que o símbolo $\sim$ significa que $\dfrac{f(x)}{a_{o}/2+\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right) }\rightarrow 1$ quando $n\rightarrow\infty$ .

Os coeficientes $a_{n}$ e $b_{n}$ são os seguintes integrais

$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\ldots$

$b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx\qquad n=1,2,3,\ldots$

Admitamos que $f\left( x\right)$ é uma função de quadrado integrável e que $\phi _{n}$ é um sistema ortogonal; vimos que

$c_{n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }{||\phi _{n}||^{2}}.$

Neste caso os quadrados das três normas são dados por

$||1||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }1^{2}\;dx=2\pi$

$||\sin nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2nx\right) \;dx=\pi$

$||\cos nx||^{2}=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}nx\;dx=\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2nx\right) \;dx=\pi$

e os coeficientes por

$c_{1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{1}\right) }{||\phi _{1}||^{2}}=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \;dx=\dfrac{a_{o}}{2}$

$c_{2n}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n}\right) }{||\phi _{2n}||^{2}}$

$=\dfrac{1}{||\cos nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx=a_{n}$

$c_{2n+1}=\dfrac{\left( f\cdot \overline{\phi }_{2n+1}\right) }{||\phi_{2n+1}||^{2}}$

$=\dfrac{1}{||\sin nx||^{2}}\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=\frac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin nx\;dx=b_{n}.$

A série

$\displaystyle\sum_{n}|c_{n}|^{2}||\phi _{n}||^{2}$

é da forma

$\displaystyle\sum_{n}\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$

que, sendo convergente, implica que $a_{n}\rightarrow 0$ e $b_{n}\rightarrow 0.$

É possível demonstrar que, para que $a_{n},b_{n}\rightarrow 0$ $\left( n\rightarrow \infty \right)$ é suficiente que $f\left( x\right)$ seja absolutamente integrável.

$\bigskip$

Teorema: se $f\left( x\right)$ satisfizer as seguintes condições

for injectiva;
for limitada em $x\in\lbrack a,b\rbrack$ ;
tiver um número finito de máximos e mínimos;
e tiver um número finito de descontinuidades de primeira espécie (quando existem limites finitos da função à esquerda e à direita do ponto da descontinuidade).

Então a série trigonométrica de Fourier converge para a seguinte quantidade

$\dfrac{1}{2}\left[ f\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \right] =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$ .

As condições anteriores, que se designam por condições de Dirichlet, são condições suficientes de convergência.

Nos intervalos em que a função é contínua, a convergência da série é uniforme. Se $f\left( x\right)$ for contínua em todo o intervalo, a série trigonométrica de Fourier converge uniformemente em todo o intervalo.

Como consequência do teorema anterior, resulta que o conjunto das funções $\sin nx$ , $\cos nx$ é um conjunto completo para as funções que satisfazem as condições de Dirichlet, isto é

$\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{4}2\pi +\displaystyle\pi \sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$

$\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left\vert f\left( x\right) \right\vert^{2}\;dx=\dfrac{a_{0}^{2}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$

que é a relação de Parseval neste caso.

Dada uma função $f\left( x\right)$ definida no intervalo $x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ , se $f\left( x\right)$ satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para $\dfrac{1}{2}\lbrack\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack$ . Mas, o que é que acontece fora do intervalo $\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de $f\left( x\right)$ . Se $f\left( x\right)$ for periódica de período $2\pi$ , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo $a_{1}\cos x+b_{1}\sin x$ designamo-lo por fundamental, o termo $a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx$ , harmónica de ordem $n$ .

$\bigskip$

Problema 1 – Mostre que o sistema de funções $\sin nx$ , em que $n=1,2,3,\ldots$ é ortogonal no intervalo $\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ e determine a respectiva norma.

$\bigskip$

Resolução

Num sistema ortogonal

$\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\overline{\phi }_{m}\;dx\left\{\begin{array}{c}=0\qquad n\neq m\\>0\qquad n=m\end{array}\right.$

A sua norma é dada por

$\int_{a}^{b}|\phi _{n}|^{2}\;dx=||\phi _{n}||^{2}>0$

Como fórmulas a aplicar, temos as seguintes trigonométricas

$\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$

$\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm\sin b\cos a$

$\cos 2a=\cos^{2}a-\sin ^{2}a=1-2\sin^{2}a=2\cos ^{2}a-1\qquad (a=b)$

Donde

$\sin a\sin b=\dfrac{\cos \left( a-b\right) -\cos \left( a+b\right) }{2}$

$\sin ^{2}a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\qquad (a=b)$

Ora, como para $n\neq m$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin nx\text{ }\sin mx\;dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi }\cos\left( n-m\right) x-\cos\left( n+m\right) x\;dx$

$=\dfrac{1}{2}\left\lbrack\dfrac{1}{n-m}\sin \left( n-m\right) x-\dfrac{1}{n+m}\sin\left( n+m\right) x\right\rbrack_{0}^{\pi }=0$

e para $n=m$

$||\sin nx||^{2}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}nx\text{ }dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi }1-\cos 2a\text{ }dx=\dfrac{\pi }{2}$

o sistema é efectivamente ortogonal e a sua norma

$||\sin nx||=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.$

$\bigskip$

Problema 2 – Considere o sistema de funções

$\cos n\pi\dfrac{x}{l}$

com $n=0,1,2,\ldots$ .

1. Mostre que o sistema é ortogonal no intervalo $\lbrack 0,l\rbrack.$

2. Deduza a expressão dos coeficientes da série de Fourier associados à função $f\left( x\right)$ definida naquele intervalo.

3. Calcule o valor dos coeficientes de Fourier para $f(x)=\dfrac{x}{t}$

$\bigskip$

Soluções:

$\displaystyle\int_{0}^{l}\cos n\pi\dfrac{x}{l}\cos m\pi\dfrac{x}{l}\text{ }dx=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{l}{2}\qquad n=m\neq 0\\l\qquad n=m=0\\\text{0}\qquad\qquad n\neq m\end{array}\right.$

$c_{n}=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int_{0}^{l}f\left( x\right) \cos n\pi\dfrac{x}{l}\text{}dx\\c_{0}=\dfrac{1}{l}\int_{0}^{l}f\left( x\right) \text{ }dx$

$c_{n}=\left\{\begin{array}{c}0\qquad \qquad n\text{ par}\\-\dfrac{4}{n^{2}\pi^{2}}\qquad n\text { \'{\i}mpar}\end{array}\right.$

$c_{0}=\dfrac{1}{2}$

Nota adicional: nestas condições

$f\left( x\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right)$

$\dfrac{x}{t}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\left( \cos\dfrac{\pi x}{l}+\dfrac{1}{3^{2}}\cos\dfrac{3\pi x}{l}+\dfrac{1}{5^{2}}\cos\dfrac{5\pi x}{l}+\cdots\right)$

Para $x=0,$ vem

$0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{\pi ^{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}$

donde

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{\left( 2n+1\right) ^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{8}.$

Continua em Séries de Fourier 4 - Problemas

[ Actualização de 19-11-2008: incluído pdf e explicação sobre o significado do símbolo $\sim$ ]

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Sobre Américo Tavares

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2 respostas a Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica de Fourier

Mano Paulo João Gimo diz:

Março 18, 2013 às 10:22 pm

peço exemplo duma função absolutamente integrável na recta real

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  Março 19, 2013 às 12:06 am
  
  A função $x\mapsto e^{-x^{2}}$ . O integral desta função (conhecido por integral de Gauss) é:
  
  $\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi }$

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