O problema 3x + 1 está por resolver. Consiste no seguinte:

Considera-se um número inteiro positivo superior a 1. Se for par divide-se por dois, se for ímpar multiplica-se por três e soma-se-lhe um. Ao novo número assim obtido faz-se o mesmo, e assim sucessivamente, até que se chegue a 1.

Conjectura-se que qualquer que seja o número inicial, a sequência gerada acaba sempre no número um. 

Exemplo: 5, 16, 8, 4, 2, 1

Cálculo:

    5×3+1= 16,     16÷2= 8,     8÷2= 4,     4÷2= 2,     2÷2= 1

Outro exemplo (o do gráfico em cima): 27, 82, 41, 124, …, 3077, 9232, 4616, …, 46, 23, 70, …, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Cálculo:
    27×3+1= 82,     82÷2= 41
    41×3+1= 124,     124÷2= 62,     62÷2= 31
    31×3+1= 94,     94÷2= 47
    47×3+1= 142,     142÷2= 71
    71×3+1= 214,     214÷2= 107
    107×3+1= 322,     322÷2= 161
    161×3+1= 484,    484÷2= 242,    242÷2= 121,

    121×3+1= 364,    364÷2= 182,    182÷2= 91
    91×3+1= 274,    274÷2= 137
    137×3+1= 412,    412÷2= 206,    206÷2= 103
    103×3+1= 310,    310÷2= 155
    155×3+1= 466,    466÷2= 233
    233×3+1= 700,    700÷2= 350,    350÷2= 175
    175×3+1= 526,    526÷2= 263,

    263×3+1= 790,    790÷2= 395
    395×3+1= 1186,    1186÷2= 593,

    593×3+1= 1780,    1780÷2= 890,    890÷2= 445
    445×3+1= 1336,    1336÷2= 668,    668÷2= 334,    334÷2= 167
    167×3+1= 502,    502÷2= 251
    251×3+1= 754,    754÷2= 377
    377×3+1= 1132,    1132÷2= 566,    566÷2= 283
    283×3+1= 850,    850÷2= 425,

    425×3+1= 1276,    1276÷2= 638,    638÷2= 319
    319×3+1= 958,    958÷2= 479
    479×3+1= 1438,    1438÷2= 719
    719×3+1= 2158,    2158÷2= 1079
    1079×3+1= 3238,    3238÷2= 1619
    1619×3+1= 4858,    4858÷2= 2429
    2429×3+1= 7288,    7288÷2= 3644,    3644÷2= 1822,    1822÷2= 911
    911×3+1= 2734,    2734÷2= 1367
    1367×3+1= 4102,    4102÷2= 2051, 

    2051×3+1= 6154,    6154÷2= 3077, 

    3077×3+1= 9232,     9232÷2= 4616,    4616÷2= 2308,     2308÷2= 1154,    1154÷2= 577
    577×3+1= 1732,    1732÷2= 866,    866÷2= 433
    433×3+1= 1300,    1300÷2= 650,    650÷2= 325
    325×3+1= 976,    976÷2= 488,    488÷2= 244,    244÷2= 122,     122÷2= 61,

    61×3+1= 184,    184÷2= 92,    92÷2= 46,    46÷2= 23
    23×3+1= 70,    70÷2= 35
    35×3+1= 106,    106÷2= 53
    53×3+1= 160,    160÷2= 80,    80÷2= 40,    40÷2= 20,    20÷2= 10,    10÷2= 5
    5×3+1= 16,    16÷2= 8,    8÷2= 4,    4÷2= 2,    2÷2= 1

Note que a seguir a um número  ímpar o número é sempre par!

Quando se testa sistematicamente em computador esta sequência, basta escrever o número na forma

e parar quando se obtiver um número inferior ao inicial, desde que antes se tenham testados todos os números para menor ou igual ao que está a ser testado, o que poupa tempo de cálculo.

Exemplos:

 

 —

 —

 —

Só se testam dos casos, os da forma

Só se testam   dos casos, os da forma  e

Só se testam  dos casos, os da forma , e .

Links úteis:

• Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
• On the 3x + 1 problem,  Eric Roosendaal:  http://www.ericr.nl/wondrous/
• Experiments with the 3n+1 sequence (Gerador/calculadora online), Alfred Wassermann: http://did.mat.uni-bayreuth.de/personen/wassermann/fun/3np1_e.html
• Computational verification of the 3x+1 conjecture, Tomás Oliveira e Silva: http://www.ieeta.pt/~tos/3x+1.html
• The 3x + 1 Problem and its Generalizations, Jeffrey C. Lagarias (January 16, 1996): http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/paper/html/paper.html
• Algorithme de Collatz et conjecture de Syracuse: http://trucsmaths.free.fr/js_syracuse.htm 

[4-6-2008: incluído gráfico]