INCLUÍ
Questão 1 do Grupo II e sua resolução:
Em 
1.1. Mostre, sem recorrer à calculadora, que 
Resolução algébrica:
Como
para mostrar que 
1.2. No plano complexo, sejam 
e de 
Determine o comprimento do segmento [
Resolução algébrica:
Questão 2 do Grupo I:
2. Seja 
Qual o valor de
(
Resposta (C) porque
Diagrama para clarificação adicional:
Fonte do diagrama: http://ferrao.org/2008/06/matemtica-das-bolinhas.html
ADENDAS:
-
de 24-6-2008
Questão 3 do Grupo II:
Em duas caixas, A e B, introduziram-se bolas indestinguíveis ao tacto:
-
na caixa A: algumas bolas verdes e algumas bolas azuis;
-
na caixa B: três bolas verdes e quatro azuis.
Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B. De seguida, retira-se, também ao acaso, uma bola da caixa B.
Sabendo que a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul é igual a 
Resolução:
Admitamos que a bola retirada da caixa A e colocada na caixa B era azul. Então, iriam ficar em B quatro bolas de cada cor. Ao retirar uma delas, passaria a haver três bolas de uma cor e quatro de outra. Assim sendo, a probabilidade de a bola retirada da caixa B ser azul seria 
-
de 25-6-2008
Questão 1 do Grupo I:
1. O joão e a Maria convidaram três amigos para irem, com eles, ao cinema. Compraram cinco bilhetes com numeração seguida, numa determinada fila, e distribuíram-nos ao acaso.
Qual a probabilidade de o João e a Maria ficarem sentados um ao lado do outro?
Resposta (B) porque
Designando, sem perda de generalidade, o número dos bilhetes por 1, 2, 3, 4 e 5, os casos favoráveis são 4, correspondentes aos bilhetes do João e da Maria serem, independentemente da ordem
1 2
2 3
3 4
4 5
e os desfavoráveis a 6
3 casos: 1 3, 1 4, 1 5
2 casos: 2 4, 2 5
1 caso: 3 5
pelo que a probabilidade pedida é igual a 
Questão 4 do Grupo I:
4. Seja 
Qual dos seguintes valores é igual a 
Resposta (D) porque
[Alterado título para (...) cinco questões (...), em vez de (...) duas questões (...)]
ADENDA DE 26-6-2008 : o comentário 1 refere-se à questão 6 do Grupo I da versão 1, e que transcrevo parcialmente, tendo, para o efeito, seguido o link indicado (que é um comentário do professor Aristides Adão no blog “A Educação do meu Umbigo“)
« (…) um erro numa questão de escolha múltipla (…) estou a falar da representação gráfica da função derivada de uma outra função também representada graficamente (uma semi-recta e um arco de parábola) … é que nenhuma das hipóteses apresentadas podia em rigor representar a derivada da função inicial … no ponto comum da semi-recta e da parábola o declive da parábola (em módulo) é visivelmente muito superior ao da recta (também em módulo), (duas ou três vezes, à vista desarmada) e nas representações apresentadas como soluções aparecem iguais … é certo que este não era o cerne do problema, mas então o rigor matemático exigia que se dissesse que apreciação devia ser feita do ponto de vista do domínio da função derivada … aliás se esta não fosse uma questão de escolha múltipla e fosse pedido ao aluno que fizesse um esboço do gráfico da função derivada da função dada, nenhum critério de correcção aceitaria como certo as que a prova tem como hipóteses de escolha (…) »
ADENDA DE 27-6-2008: veja ainda sobre esta mesma questão o post de António Chaves Ferrão de 25-6-2008 em http://ferrao.org/:
http://ferrao.org/2008/06/aristides-ado-erro-no-exame-de.html
Nota da minha responsabilidade: os gráficos sobrepostos das funções 
que foram construídos para o exemplo
e
Neste exemplo, a título meramente ilustrativo, os declives das tangentes à esquerda e à direita do ponto de encontro dos dois ramos da função são, respectivamente, 
Como no ponto de encontro destes ramos de
2009
ADENDA DE 23.06.09: Provas em Matemática A – 635 de 2009 – Prova V1 – Critérios
ADITEI a esta entrada
a resolução publicada no Público de 24.06.09 da Prova de 2009.
.
pertencem à classe das funções contínuas num intervalo 
satisfaz a equação integral
e 
(considere 
.
. 
de um regulador ideal PID varia em função do tempo e da entrada 
(diferença de regulação) da seguinte maneira:
,
são constantes independentes do tempo.
.
e multiplicados, 
?
é 
e o seu produto 
. Determine os números e justifique.
.
,
são funções arbitrárias, que produzem fractais diferantes conforme a sua escolha.
.
. A relação entre a taxa efectiva (
) e a nominal (
) é dada pela conhecida igualdade
,
é o número de períodos de capitalização.
.
,
.
não é completo no intervalo 
seja completo é necessário que
não identicamente nula em 
é o produto de uma função ímpar com uma função par e, portanto, este produto é uma função par. Dado o intervalo de integração, o integral do numerador é nulo. Nestas condições o integral 
, 
, 
é ortogonal e completo, uma função contínua 
que seja ortogonal a todas as funções do sistema é identicamente nula.
é ortogonal,
. 
