Teorema de Pitágoras

Esquema da demonstração de Euclides 

 1. Triângulo rectângulo: na figura a seguir o ângulo interno entre os lados a azul e a verde é recto

Notação: c = hipotenusa  a = cateto azul  b = cateto verde

2. Teorema: c^2=a^2+b^2. A área do quadrado vermelho (sobre o lado c) é igual à soma das áreas dos quadrados azul (sobre o lado a) e verde (sobre o lado b)

3. Demonstração de Euclides: construção auxiliar usada por Euclides (com omissão das letras identificativas dos vértices e com linhas coloridas em vez de a preto) na Proposição 47 do livro I dos Elementos

Proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides

* * *

Notas: poderá ver uma demonstração deste teorema no blogue Fatos Matemáticos; em  Cut  the knot poderá encontrar, em inglês, 78 demonstrações deste Teorema; ou ainda  nesta entrada de Terence Tao e respectivos comentários; e nesta minha entrada uma demonstração em francês publicada no número especial sobre Matemáticas de Nov 2008 da revista La Recherche.

* * *

Actualização de 17.03.2010.

Eis uma das formas como este teorema era demonstrado no Compêndio de Geometria de Diogo Pacheco de Amorim (no volume 2.º, ano 4.º, páginas 57 a 59, de 1943, da Coimbra Editora L.da), em edição fac-símile, de 2004, da SPM, integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, que adquiri ontem e assim apresentado pela SPM (Sociedade Portuguesa de Matemática):

« Autor: Diogo Pacheco de Amorim

Em Portugal foram editados muitos bons livros de texto, escritos em linguagem clara e convincente, que dão numerosos (e por vezes invulgares) exemplos, que contêm complementos de muito interesse, que em vários casos expõem assuntos hoje menos conhecidos, que até estabelecem terminologia, mas que não estão acessiveis por as edições se encontrarem esgotadas há muito tempo. A publicação de uma série de textos didácticos de qualidade poderá dar também um incentivo aos matemáticos de hoje para que se empenhem na edição de livros de texto para os ensinos básico, secundário e superior.

Nesta edição, integrada na Biblioteca Básica de Textos Didácticos de Matemática reproduzimos a obra de Diogo Pacheco de Amorim – “Compêndio de Geometria” de 1943. »

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pdf: ver caderno

Exercícios 

Exercício: Determine o comprimento a=c de cada um dos lados iguais de um triângulo isósceles, de base b e área A.

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(8,6)\put(1,1){\line(3,4){3}}\put(4,5){\line(3,-4){3}}\put(1,1){\line(1,0){6}}\put(4,5){\line(0,-1){4}}\put(2.3,3.2){\textit{a}}\put(5.7,3.1){\textit{c}}\put(3.8,0.5){\textit{b}}\put(4.1,2.7){\textit{h}}\end{picture}

Resolução: Seja b a  base. A altura une o ponto da base equidistante de cada vértice situado nos extremos; a distândia a cada um é igual a \dfrac{b}{2}. Esta altura divide o triângulo isósceles de lados a,b,c em dois triângulos rectângulos simétricos: o da esquerda de lados a,\dfrac{b}{2} e h e o da direita c,\dfrac{b}{2} e h, cada um com uma área igual a A/2. Pelo Teorema de Pitágoras aplicado, por exemplo, ao da esquerda sabemos que

a^2=h^2+\dfrac{b^2}{4}

Como a área do triângulo de lados a,b,c é A=\dfrac{b\times h}{2}, h=\dfrac{2A}{b}, podemos exprimir a em função de A,b:

a=c=\sqrt{\dfrac{4A^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{4}}

como é pedido.

Exercício de aplicação numérica: Sabendo que A=12\text{ cm}^2b=6\text{ cm}, determine a.

Resposta

a=5\text{ cm}

Em 4-3-2009, o leitor Thais, noutra entrada, colocou o seguinte problema que transcrevo, embora mudando-o para a ortografia do Português de Portugal:

Problema: Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45  b) 48  c) 50  d) 55  e) 58

???

Eis a minha resposta de 5-3-2009:

A resposta é 45.

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16 × 2,25 = 36 milhas e o navio Y, 12 × 2,25 = 27 milhas.
Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72 – 36 = 36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36²+27²=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas).  Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a \sqrt{2025}=45  milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

[Reformulação geral em 17.03.2010 ]

18.03.10: Pode ver aqui um desafio relacionado com o teorema de Pitágoras, que reproduzo na íntegra:

Consegue aplicar o teorema de Pitágoras para explicar este logótipo? Melhor, acha que esta figura demonstra o teorema de Pitágoras?

Obs. Os dois quadrados maiores são iguais.

Fonte do logo — Primeiro slide de:

Hyperelliptic Curves, Continued Fractions and Somos Sequences, Algorithmic Number Theory, Turku, May 8, 2007

de

Alf van der Poorten (Emeritus Professor of Mathematics, ceNTRe for Number Theory Research, Sydney)

P.S. E agora?

Reportando-me à figura, as letras a,b,c são os lados dos quadrados pretos e dos triângulos.

O quadrado da esquerda por ter os lados iguais a a+b, tem de área (a+b)^2. A área do da direita é igual. A área total do quadrado da esquerda é

c^2+4\times\dfrac{ab}{2}=c^2+2ab

A área total do da direita é

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

Igualando estas áreas, tem-se

c^2+2ab=a^2+b^2+2ab

donde se demonstra que

c^2=a^2+b^2\ \square

* * *

Ver também nesta minha entrada, Exemplo de «Le triangle», na página 54 da revista La Recherche Spécial Mathématiques Nov 2008 — demonstração do teorema de Pitágoras (Pythagore).

larecherchepitagoras1

________________

REFERÊNCIA: Philip Davis e Reuben Hersh, A Experiência Matemática, p. 146, Gradiva, 1995. 

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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24 respostas a Teorema de Pitágoras

  1. helias assunção freitas diz:

    gostaria de saber onde encontrar o livro “A proposição de Pitagoras” que mostra mais
    de 300 demonstrações do teorema de pitagoras.

  2. Vejo que o original inglês “The Pythagorean Proposition” de Elisha S. Loomis está esgotado.
    Quanto à versão portuguesa não a conheço.
    Talvez ajude esta dissertação de Irma Verri Bastian – O Teorema de Pitágoras

    http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao_irma_verri_bastian.pdf

    que lista este livro na Bibliografia.
    Lamento não poder ajudar mais.

  3. livia diz:

    gostaria que vc colocassem mais coisas sobre o teorema de pitagoras e mais calculos ou materia de matematica e muito pouco o que tem atualizem mais por favorrrrrrrrrrrr

  4. livia

    Eu sei que é pouco, mas o que eu pretendo é apresentar assuntos de nível variado, não podendo por diversos motivos cobrir muitos, nem na teoria nem em termos de exercícios ou problemas. Porém, vou acrescentar aqui um exercício de aplicação do Teorema de Pitágoras. Gostaria de acrescentar que o mais importante, que seria apresentar uma demonstração completa deste célebre Teorema só não o fiz por falta de meios para gerar com razoável apresentação figuras geométricas com a notação clássica dos vértices, lados, etc.

    Exercício: Determine o comprimento a=c de cada um dos lados iguais de um triângulo isósceles, de base b e Área A.
    Poderá ver a resolução que acrescentei em cima.

  5. Moy Coelho diz:

    gostae de ver o vosso site, e as materias que nele estão publicados. espero voltar a acessar-lo e aprender mais algo.
    hoje pesquisei algo sobre o mistico teorema doe Pitagoras.
    até mais…

  6. marla diz:

    olhem,nao entenddi,eu queria exercicios para q eu resolva.
    obrigado!!

  7. katia diz:

    esta insuficiente

  8. Comentários 6 e 7:
    Vejam o meu comentário 4 em resposta a 3.

  9. tata diz:

    nao endendi nada

  10. tata,

    O enunciado é claro. A demonstração não a apresentei por motivos de direitos de autor. O exemplo tem de o conseguir visualizar, uma vez que não forneci uma figura. Mas deve conseguir desenhá-la, com a descrição que forneço. Com a figura deverá ser capaz de acompanhar a resolução do exercício, penso eu.
    [Figura acrescentada em 2-3-2009]

  11. rayanne emmanuelly diz:

    precisa de mais desenhos na hora dos problemas,é mais facil de estudar

    • Cara rayanne emmanuelly

      Compreendo a sua sugestão, que de resto é uma “falta” de que já me apercebi, como pode ver no que disse, em 19-11-2008, na “Advertência aos leitores”.

      Dentro da medida do possível tenho algumas vezes incluído uma figura, como no exercício.

      O lado positivo é que se se torna mais difícil visualizar o enunciado sem a figura geométrica, também se aprende bastante ao desenhá-la ou imaginá-la só com as indicações escritas fornecidas.

  12. Anónimo diz:

    eu gostei,so queria que fizesse a conta pra ficar mais facil de estdar!
    obg
    .
    ;**

  13. filipe diz:

    meio complexo pra alguem da séima série como eu
    não acha!?

    • Repare que este artigo começou essencialmente apenas com a identificação da Proposição de Euclides, como digo na advertência.
      Depois fui acrescentando os vários aditamentos indicados acima.
      Mas continua a não ter valor expositivo – isto é, não serve para aprender a Matemática associada a este Teorema.

  14. Ingridy Estanislau diz:

    Olha não gostei muito !
    Teve coisas que deu ate para aproveitar !
    estou procurando mais exercícios para praticar (:
    Si for possível colocar mais exercícios agradeço .

    • Obrigado pelo seu comentário franco. A demonstração do teorema do Compêndio de Geometria de Diogo Pacheco de Amorim, reproduzida acima, para mim é bela. Quanto a exercícios, fui acrescentando alguns, mas não penso incluir mais. Quanto a praticar, o melhor é comprar um bom livro de exercícios, coisa que este blogue não é nem poderá ser.

  15. dyleta bianca diz:

    nao gostei muito pq nao entendi nsd ta muito dificil de entender

  16. julio diz:

    ñ entendi pq aprendi de outro jeito(a oa quadrado é = a ‘b’ ao quadrado + ‘cc”’ ao quadrado

  17. Laudivam Freire Cavalcanti diz:

    Minha cabeça está confusa
    Se brincar, o juíso eu perco
    Por que o “quadrado da hipotenusa”
    É a soma dos “quadrados dos catetos”

    Laudivam Freire Cavalcanti

  18. Laudivam Freire Cavalcanti diz:

    Errata:trocar “juíso” por “juízo”

  19. Laudivam Freire Cavalcanti diz:

    Ótimo o seu blog. Encontrei-o quando procurava algo sobre o teorema de Pitágoras.
    Um assunto interessante que envolve o teorema de Pitágoras é encontrar fórmulas que gerem ternos pitagóricos. Fica a sugestão para um novo tópico do seu blog.

  20. Gabryel diz:

    Nao foi nada do que eu esperava

  21. kamilla diz:

    Sinceramente matematica não é uma materia que eu goste, mas tambem é essencial em nosso dia a dia ela esta por toda a parte percebamos-na ou não, acredito que todos possam aprendê-la apartir do esforço aplicado aos estudos, queria saber como mede-se uma diagonal, a altura, de um triangulo retangulo usando o teorema de pitagoras….

    Desde já agradeço!

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