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19-11-2008: Advertência aos leitores –  pelo teor dos comentários sou levado a concluir que muitos dos que por aqui passam desejariam uma explicação didática com teoria e exercícios sobre este teorema, frustanto assim as suas expectativas.

No entanto, com esta entrada, só pretendi, quando a escrevi, algo mais modesto: enunciar o teorema, que foi ilustrado de forma rudimentar por falta de meios adequados, e fundamentalmente referir que o mesmo é a Proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides, referindo o livro onde obtive esta informação.

Depois acrescentei um exercício — mas pelo motivo de que falei atrás  sem a figura geométrica que o tornaria imediatamente claro [figura acrescentada em 2-3-2009] – e, ontem, um link para uma outra entrada  da edição especial da revista La Recherche de Nov 2008, essa com figura sugestiva.

Para verdadeiramente aprenderem e exercitarem este teorema, deverão procurar outras fontes de informação, podendo ajudar os links que indico, aliás foi essa a minha ideia.

Dou esta explicação por consideração para com os leitores desta entrada: a mais visitada de todas, até agora.

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1. Triângulo rectângulo: na figura a seguir o ângulo interno entre os lados a azul e a verde é recto

 

Notação: c = hipotenusa  a = cateto azul  b = cateto verde

 

2. Teorema: c^2=a^2+b^2. A área do quadrado vermelho (sobre o lado c) é igual à soma das áreas dos quadrados azul (sobre o lado a) e verde (sobre o lado b)

3. Demonstração de Euclides: construção auxiliar usada por Euclides (com omissão das letras identificativas dos vértices e com linhas coloridas em vez de a preto) na Proposição 47 do livro I dos Elementos

 

 

Proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides

Neste link http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml poderá encontrar, em inglês, 78 demonstrações deste Teorema.

Ou ainda  nesta entrada de Terence Tao e respectivos comentários. 

Poderá ver nesta minha entrada uma demonstração em francês publicada no número especial sobre Matemáticas de Nov 2008 da revista La Recherche.

Exercício: Determine o comprimento a=c de cada um dos lados iguais de um triângulo isósceles, de base b e área A.

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(8,6)\put(1,1){\line(3,4){3}}\put(4,5){\line(3,-4){3}}\put(1,1){\line(1,0){6}}\put(4,5){\line(0,-1){4}}\put(2.3,3.2){\textit{a}}\put(5.7,3.1){\textit{c}}\put(3.8,0.5){\textit{b}}\put(4.1,2.7){\textit{h}}\end{picture}

Resolução: Seja b a  base. A altura une o ponto da base equidistante de cada vértice situado nos extremos; a distândia a cada um é igual a \dfrac{b}{2}. Esta altura divide o triângulo isósceles de lados a,b,c em dois triângulos rectângulos simétricos: o da esquerda de lados a,\dfrac{b}{2} e h e o da direita c,\dfrac{b}{2} e h, cada um com uma área igual a A/2. Pelo Teorema de Pitágoras aplicado, por exemplo, ao da esquerda sabemos que

a^2=h^2+\dfrac{b^2}{4}

Como a área do triângulo de lados a,b,c é A=\dfrac{b\times h}{2}, h=\dfrac{2A}{b}, podemos exprimir a em função de A,b:

a=c=\sqrt{\dfrac{4A^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{4}}

como é pedido.

Exercício de aplicação numérica: Sabendo que A=12\text{ cm}^2 e  b=6\text{ cm}, determine a.

Resposta

a=5\text{ cm}

 

Em 4-3-2009, o leitor Thais, noutra entrada, colocou o seguinte problema que transcrevo, embora mudando-o para a ortografia do Português de Portugal:

Problema: Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45  b) 48  c) 50  d) 55  e) 58

???

Eis a minha resposta de 5-3-2009:

A resposta é 45.

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16 × 2,25 = 36 milhas e o navio Y, 12 × 2,25 = 27 milhas.
Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72 – 36 = 36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36²+27²=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas).  Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a \sqrt{2025}=45  milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

REFERÊNCIA: Philip Davis e Reuben Hersh, A Experiência Matemática, p. 146, Gradiva, 1995.

[21-5-2008: incluído link para o artigo de Terence Tao]

ADENDA DE 25-5-2008: ver vídeos 3, 4 e 5 desta entrada: http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/05/25/videos-de-e-sobre-matematica/

ADENDA DE 29-9-2008: acrescentados exercícios.

[Actualização de 30-9-2008:  versão 3 do pdf]

ADENDA DE 18-11-2008: acrescentado link para a minha entrada sobre a La Recherche de Nov 2008 (Spécial Mathématiques)

ADENDA DE 5-3-2009: acrescentado problema e resposta.