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Texto do desafio “A moeda contrafeita“, de António Ferrão, do blog
« Imagine o leitor que está perante um conjunto de 27 moedas de ouro e uma balança mecânica de braços iguais. Dispõe apenas deste material.
É-lhe dito:
- Há uma moeda falsa.
- Que número mínimo de operações com a balança será necessário efectuar para se determinar com certeza qual é a moeda falsa? »
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Passo a expor um método para conseguir determinar a moeda falsa do conjunto das 27, sem se saber se ela é mais ou menos pesada do que as restantes.
Para facilidade de exposição designo o conjunto das moedas por
Divido este conjunto em três outros, com nove moedas cada, 
A seguir faço as seguintes pesagens:
-
Passo 1 - coloco num dos pratos da balança as moedas do conjunto
e no outro as do
. Se a balança ficar em equilíbrio, a moeda falsa pertence ao conjunto
e prossigo para o passo 5. Senão, prossigo para o passo 2.
-
Passo 2 – substituo as moedas do prato mais elevado pelas de
-
Passo 3 – das nove moedas que têm peso diferente, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. Senão, a moeda falsa é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada.
-
Passo 4 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. Caso contário, é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada. FIM.
-
Passo 5 - das nove moedas de
FIM. Senão, prossigo para o passo 8. -
Passo 6 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. FIM. Senão houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos.
-
Passo 7 – comparo a moeda do prato que pesa menos com a moeda que ficou de fora: a que pesava menos é falsa se continuar a pesar menos, caso contário é a que está no prato que pesa mais. FIM.
-
Passo 8 - transfiro duas moedas do prato mais leve para o mais pesado e uma do mais pesado para o mais leve, ficando duas moedas em cada prato. Podem acontecer três situações:
-
a balança ficar desequilibrada para o mesmo lado — a moeda falsa é a que não foi mexida; FIM.
-
a balança continuar desequilibrada, mas com inversão do sentido do desiquilíbrio — a moeda falsa é a que foi transferida do prato mais pesado; FIM.
-
a balançar ficar equilibrada — faço uma última pesagem no passo 9.
-
-
Passo 9 – escolho uma das duas moedas que não foram transferidas de prato e comparo o seu peso com qualquer das moedas de
ou
-
a balança ficar equilibrada — a moeda falsa é a que não foi pesada; FIM.
-
a balança ficar desequilibrada — a moeda falsa é a que está no prato mais pesado. FIM.
-
Os casos possíveis são então:
-
Passo 1, Passo 5, Passo 6: 3 pesagens
-
Passo 1, Passo 5: Passo 6, Passo 7: 4 pesagens
-
Passo 1, Passo 5, Passo 8: 3 pesagens
-
Passo 1, Passo 5, Passo 8, Passo 9: 4 pesagens
-
Passo 1, Passo 2, Passo 3, Passo 4: 4 pesagens
Por este método consegue-se isolar a moeda falsa em 4 pesagens no máximo.
NOTA: por abuso de linguagem digo prato mais leve e mais pesado querendo significar o prato com o conjunto de moedas menos ou mais pesado.
[Correcção de 15-5-2008: no passo 5 e nos casos possíveis - ver comentário de António Ferrão.]
ADENDA de 15-5-2008: uma abordagem que parte do princípio que a moeda falsa é mais leve do que as restantes, devido a haver pouquíssimos metais mais densos do que o ouro (veja comentário de António Ferrão), traduz-se, com uma forma de esquematização idêntica à de acima, em:
Faço as seguintes pesagens:
-
Passo 1 - coloco num dos pratos da balança as moedas do conjunto
-
Passo 2 – das nove moedas que incluem a falsa, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. Senão, a moeda falsa está no prato mais leve.
- Passo 3 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. FIM. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos: nele está a moeda falsa. FIM.
Estas 3 pesagens são suficientes para identificar a moeda falsa.
(Adaptado do comentário de Luisa Novo no post http://ferrao.org/2008/04/moeda-contrafeita.html:
« 3 pesagens no mínimo.
2ª em conjuntos de 3 em cada prato
3ª uma em cada prato
moedas, em que apenas uma seja mais leve do que as restantes. São suficientes 
pesagens para identificar a moeda contrafeita.
Caro Américo Tavares
Fui consultar a Tabela Periódica dos Elementos, para saber quais os metais mais de massa volúmica superior ao ouro. Eis o que encontrei:
Rénio, Ósmio, Irídio, Platina e Urânio, além de alguns transuranianos (sem isótopos estáveis). Todos me pareceram demasiado exóticos para um pobre contrafactor. É certo que não fui taxativo em dizer que a moeda falsa era menos densa, porque me pareceu essa ideia estranha.
A primeira hipótese descrita no passo 5 não chega a isolar completamente a moeda falsa, pelo que uma nova pesagem se torna necessária. Quer dizer que não é possível terminar este procedimento com duas pesagens, precisamente por estar orientado para a optimização.
Caro António Ferrão
O passo 5 tinha um erro, que lhe agradeço, e que entretanto corrigi no meu post. Como estava, de nada serviam os passos 6 e 7! Foi um lapso, mas que até me levou a enumerar falsamente os casos possíveis, que também corrigi.
Não havendo outros erros, mantém-se a conclusão: 4 pesagens, no máximo, excepto se houver um método que, nos meus pressupostos, consiga identificar a moeda contrafeita em menos pesagens. Se houver, não o descobri.
Sei que a solução correcta já foi há muito apresentada, na condição que como comentado no seu blog se considera estar subentendida, encarando a natureza física do problema.
Quanto a mim, apenas pretendi conceber um método que fosse independente de se saber a priori se a moeda falsa seria mais ou menos pesada que as restantes.
Obrigado pelo seu comentário
ADENDA de 15-5-2008, 10.52: Não acho que esta minha maneira de ver este assunto seja melhor que a que esteve na sua ideia. Até vejo uma contradição na minha abordagem: não atender à parte física do problema, que é para ser resolvido com uma balança, ou seja, um instrumento de medida mecânico.
outro dia me passaram o mesmo problema com 40 moedas e 4 pesagens…..nao consegui resolver….voce acredita que devo seguir pelo mesmo caminho demonstrado acima?
Se fossem
moedas e se soubesse que uma seria mais ou menos pesada, poderia seguir o método de Luisa Novo referido acima, dividindo em grupos de três e no fim chegaria a 4 pesagens. Mas o seu caso é diferente. E também é diferente do caso que exponho, porque com 
moedas não pode formar grupos de três. À primeira vista parecem-me ser necessárias mais pesagens.
é possível a resolução do problema com 40 moedas e 4 pesagens, determinando qual é a moeda diferente, não podendo determinar se ela é mais leve ou mais pesado do conjunto. A propósito o desafio ao racamles foi proposto por mim
Caro Frederico Lourenço,
Como não tem ponto de interrogação, parece-me que não está a perguntar, mas a afirmar ser possível.
Se quiser revelar algo mais, força!
Obrigado pelo seu comentário e visita.
Américo
ACHO QUE ERA O QUE EU ESTAVA PRECIZANDO,POR ISSO AQUI VAI AS MINHAS NOTAS DE AGRADECIMENTO, BOM CONTEÚDO POS ADISPOSIÇÃO DOS LEITORES
prezardo americo tavares como posso resolver essa questão das pesagens usando oito moedas e podendo realizar apenas duas pesagens? desde ja lhe agradeço.
erika jessica