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Texto do desafio “A moeda contrafeita“, de António Ferrão, do blog
« Imagine o leitor que está perante um conjunto de 27 moedas de ouro e uma balança mecânica de braços iguais. Dispõe apenas deste material.
É-lhe dito:
- Há uma moeda falsa.
- Que número mínimo de operações com a balança será necessário efectuar para se determinar com certeza qual é a moeda falsa? »
Ver meu comentário
Passo a expor um método para conseguir determinar a moeda falsa do conjunto das 27, sem se saber se ela é mais ou menos pesada do que as restantes.
Para facilidade de exposição designo o conjunto das moedas por
.
Divido este conjunto em três outros, com nove moedas cada, , respectivamente
.
A seguir faço as seguintes pesagens:
-
Passo 1 - coloco num dos pratos da balança as moedas do conjunto
e no outro as do
. Se a balança ficar em equilíbrio, a moeda falsa pertence ao conjunto
e prossigo para o passo 5. Senão, prossigo para o passo 2.
-
Passo 2 – substituo as moedas do prato mais elevado pelas de
e vejo se o pratos se equilibram, o que indicaria que uma das moedas do prato que estava mais elevado era mais leve. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos: se for o das moedas
, é porque uma das moedas do outro prato é mais pesada; caso contrário, uma das moedas do outro prato é mais leve.
-
Passo 3 – das nove moedas que têm peso diferente, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. Senão, a moeda falsa é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada.
-
Passo 4 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. Caso contário, é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada. FIM.
-
Passo 5 - das nove moedas de
, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa.
FIM. Senão, prossigo para o passo 8. -
Passo 6 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. FIM. Senão houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos.
-
Passo 7 – comparo a moeda do prato que pesa menos com a moeda que ficou de fora: a que pesava menos é falsa se continuar a pesar menos, caso contário é a que está no prato que pesa mais. FIM.
-
Passo 8 - transfiro duas moedas do prato mais leve para o mais pesado e uma do mais pesado para o mais leve, ficando duas moedas em cada prato. Podem acontecer três situações:
-
a balança ficar desequilibrada para o mesmo lado — a moeda falsa é a que não foi mexida; FIM.
-
a balança continuar desequilibrada, mas com inversão do sentido do desiquilíbrio — a moeda falsa é a que foi transferida do prato mais pesado; FIM.
-
a balançar ficar equilibrada — faço uma última pesagem no passo 9.
-
-
Passo 9 – escolho uma das duas moedas que não foram transferidas de prato e comparo o seu peso com qualquer das moedas de
ou
, que sei não ser falsa. Podem acontecer dois casos:
-
a balança ficar equilibrada — a moeda falsa é a que não foi pesada; FIM.
-
a balança ficar desequilibrada — a moeda falsa é a que está no prato mais pesado. FIM.
-
Os casos possíveis são então:
-
Passo 1, Passo 5, Passo 6: 3 pesagens
-
Passo 1, Passo 5: Passo 6, Passo 7: 4 pesagens
-
Passo 1, Passo 5, Passo 8: 3 pesagens
-
Passo 1, Passo 5, Passo 8, Passo 9: 4 pesagens
-
Passo 1, Passo 2, Passo 3, Passo 4: 4 pesagens
Por este método consegue-se isolar a moeda falsa em 4 pesagens no máximo.
NOTA: por abuso de linguagem digo prato mais leve e mais pesado querendo significar o prato com o conjunto de moedas menos ou mais pesado.
[Correcção de 15-5-2008: no passo 5 e nos casos possíveis - ver comentário de António Ferrão.]
ADENDA de 15-5-2008: uma abordagem que parte do princípio que a moeda falsa é mais leve do que as restantes, devido a haver pouquíssimos metais mais densos do que o ouro (veja comentário de António Ferrão), traduz-se, com uma forma de esquematização idêntica à de acima, em:
Faço as seguintes pesagens:
-
Passo 1 - coloco num dos pratos da balança as moedas do conjunto
e no outro as do
. Se a balança ficar em equilíbrio, a moeda falsa pertence ao conjunto
. Se desiquilibar a moeda falsa é uma das que está no prato mais leve.
-
Passo 2 – das nove moedas que incluem a falsa, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. Senão, a moeda falsa está no prato mais leve.
- Passo 3 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. FIM. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos: nele está a moeda falsa. FIM.
Estas 3 pesagens são suficientes para identificar a moeda falsa.
(Adaptado do comentário de Luisa Novo no post http://ferrao.org/2008/04/moeda-contrafeita.html:
« 3 pesagens no mínimo.
2ª em conjuntos de 3 em cada prato
3ª uma em cada prato


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7 comments
Comments feed for this article
Maio 14, 2008 às 10:13 pm
António Ferrão
Caro Américo Tavares
Fui consultar a Tabela Periódica dos Elementos, para saber quais os metais mais de massa volúmica superior ao ouro. Eis o que encontrei:
Rénio, Ósmio, Irídio, Platina e Urânio, além de alguns transuranianos (sem isótopos estáveis). Todos me pareceram demasiado exóticos para um pobre contrafactor. É certo que não fui taxativo em dizer que a moeda falsa era menos densa, porque me pareceu essa ideia estranha.
A primeira hipótese descrita no passo 5 não chega a isolar completamente a moeda falsa, pelo que uma nova pesagem se torna necessária. Quer dizer que não é possível terminar este procedimento com duas pesagens, precisamente por estar orientado para a optimização.
Maio 15, 2008 às 12:47 am
Américo Tavares
Caro António Ferrão
O passo 5 tinha um erro, que lhe agradeço, e que entretanto corrigi no meu post. Como estava, de nada serviam os passos 6 e 7! Foi um lapso, mas que até me levou a enumerar falsamente os casos possíveis, que também corrigi.
Não havendo outros erros, mantém-se a conclusão: 4 pesagens, no máximo, excepto se houver um método que, nos meus pressupostos, consiga identificar a moeda contrafeita em menos pesagens. Se houver, não o descobri.
Sei que a solução correcta já foi há muito apresentada, na condição que como comentado no seu blog se considera estar subentendida, encarando a natureza física do problema.
Quanto a mim, apenas pretendi conceber um método que fosse independente de se saber a priori se a moeda falsa seria mais ou menos pesada que as restantes.
Obrigado pelo seu comentário
ADENDA de 15-5-2008, 10.52: Não acho que esta minha maneira de ver este assunto seja melhor que a que esteve na sua ideia. Até vejo uma contradição na minha abordagem: não atender à parte física do problema, que é para ser resolvido com uma balança, ou seja, um instrumento de medida mecânico.
Novembro 4, 2008 às 10:25 pm
racamles
outro dia me passaram o mesmo problema com 40 moedas e 4 pesagens…..nao consegui resolver….voce acredita que devo seguir pelo mesmo caminho demonstrado acima?
Novembro 5, 2008 às 9:22 pm
Américo Tavares
Se fossem
moedas e se soubesse que uma seria mais ou menos pesada, poderia seguir o método de Luisa Novo referido acima, dividindo em grupos de três e no fim chegaria a 4 pesagens. Mas o seu caso é diferente. E também é diferente do caso que exponho, porque com
moedas não pode formar grupos de três. À primeira vista parecem-me ser necessárias mais pesagens.
Fevereiro 16, 2009 às 9:34 pm
Frederico Lourenço
é possível a resolução do problema com 40 moedas e 4 pesagens, determinando qual é a moeda diferente, não podendo determinar se ela é mais leve ou mais pesado do conjunto. A propósito o desafio ao racamles foi proposto por mim
Fevereiro 16, 2009 às 9:47 pm
Américo Tavares
Caro Frederico Lourenço,
Como não tem ponto de interrogação, parece-me que não está a perguntar, mas a afirmar ser possível.
Se quiser revelar algo mais, força!
Obrigado pelo seu comentário e visita.
Américo
Novembro 12, 2009 às 4:01 pm
mario dumbo hossi
ACHO QUE ERA O QUE EU ESTAVA PRECIZANDO,POR ISSO AQUI VAI AS MINHAS NOTAS DE AGRADECIMENTO, BOM CONTEÚDO POS ADISPOSIÇÃO DOS LEITORES