Maio 30, 2008

Qual o número que dividido por dois, após ter ser subtraído de um, dá o dobro da soma dele próprio com três?
Descobre a fracção que depois de adicionada a 3, se for multiplicada por 2, é igual à fracção que se obtém se lhe subtrairmos 1 e dividirmos o resultado por 2.

Resolução

$2(x+3)=\dfrac{x-1}{2}\Leftrightarrow 4(x+3)=x-1\Leftrightarrow 4x+12-x+1=0$

$\Leftrightarrow 3x=-13\Leftrightarrow x=\dfrac{-13}{3}$

Logo o número pedido é a fracção $\dfrac{-13}{3}$

[Editado em 9-8-2011]

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Maio 25, 2008

Vídeos de e sobre Matemática [Videos on and about Math]

Filed under: Geometria,Matemática,Matemática-Básico,Matemática-Secundário,Math,Vídeo — Américo Tavares @ 8:23 am
Tags: Matemática, Matemática-Básico, Matemática-Secundário, Vídeo

Em 16-11-2008: acrescentado aqui video da aula aula (1ª parte de uma série cinco) de Michel Waldschmidt sobre métodos de irracionalidade e transcendência.

Em 16-8-2008: acrescentados aqui estes dois links a dois vídeos de Scott Carter sobre “acabar o quadrado” (completing the square) adequados para aprender a equação e a função quadráticas, ao nível do 9.º, para quem souber suficientemente inglês.

Em 4-10-2008: Moebius Transformations Revealed

Tenciono reunir aqui vários vídeos de e sobre Matemática – mesmo que não exclusivamente sobre esta disciplina: eis os primeiros
My intention is to collect here several videos on and about Math, even if not related only to this subject. These are the first ones.
- Quem quiser sugerir outros vídeos para serem aqui colocados, poderá usar os comentários ou o meu e-mail.
- Please suggest other videos to be inserted here by using the comment box or via e-mail.

1. “New Math” [ New Math (Corrected) 04:28 From: RonfarZ3 ]

(retirado)

2. What you know about math? [What You Know About Math? 02:11From: aescore]

3. Math lesson: Pythagorean Theorem in 60 seconds [Pythagorean Theorem in 60 Seconds 01:35 From: MathCrazyTutoring]

4. Math lesson: A right triangle and the Pythagorean Theorem [Watch Video on The Pythagorean Theorem - Geometry Help 02:27 From: yourteachermathhelp]

5. Math lesson: Problem – How far above the ground is the point where a ladder touches a building? [Watch Video on Pythagorean Theorem Word Problems - Math Help 02:54 From: yourteachermathhelp]

6. Nuno Crato entrevistado por Ana Sousa Dias na RTP2 – Part 1 06:14 From: MBRIBEIRO75

Continua »

(mais…)

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Maio 20, 2008

Teorema de Pitágoras

Filed under: Caderno,Exercícios Matemáticos,Geometria,Matemática,Matemática-Básico,Matemática-Secundário,Teorema — Américo Tavares @ 2:01 pm
Tags: Caderno, Exercícios, Matemática

Esquema da demonstração de Euclides

1. Triângulo rectângulo: na figura a seguir o ângulo interno entre os lados a azul e a verde é recto

Notação: $c =$ hipotenusa $a =$ cateto azul $b =$ cateto verde

2. Teorema: $c^2=a^2+b^2$ . A área do quadrado vermelho (sobre o lado $c$ ) é igual à soma das áreas dos quadrados azul (sobre o lado $a$ ) e verde (sobre o lado $b$ )

3. Demonstração de Euclides: construção auxiliar usada por Euclides (com omissão das letras identificativas dos vértices e com linhas coloridas em vez de a preto) na Proposição 47 do livro I dos Elementos

Proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides

* * *

Notas: poderá ver uma demonstração deste teorema no blogue Fatos Matemáticos; em Cut the knot poderá encontrar, em inglês, 78 demonstrações deste Teorema; ou ainda nesta entrada de Terence Tao e respectivos comentários; e nesta minha entrada uma demonstração em francês publicada no número especial sobre Matemáticas de Nov 2008 da revista La Recherche.

* * *

Actualização de 17.03.2010.

Eis uma das formas como este teorema era demonstrado no Compêndio de Geometria de Diogo Pacheco de Amorim (no volume 2.º, ano 4.º, páginas 57 a 59, de 1943, da Coimbra Editora L.da), em edição fac-símile, de 2004, da SPM, integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, que adquiri ontem e assim apresentado pela SPM (Sociedade Portuguesa de Matemática):

« Autor: Diogo Pacheco de Amorim

Em Portugal foram editados muitos bons livros de texto, escritos em linguagem clara e convincente, que dão numerosos (e por vezes invulgares) exemplos, que contêm complementos de muito interesse, que em vários casos expõem assuntos hoje menos conhecidos, que até estabelecem terminologia, mas que não estão acessiveis por as edições se encontrarem esgotadas há muito tempo. A publicação de uma série de textos didácticos de qualidade poderá dar também um incentivo aos matemáticos de hoje para que se empenhem na edição de livros de texto para os ensinos básico, secundário e superior.

Nesta edição, integrada na Biblioteca Básica de Textos Didácticos de Matemática reproduzimos a obra de Diogo Pacheco de Amorim – “Compêndio de Geometria” de 1943. »

* * *

pdf: ver caderno

Exercícios

Exercício: Determine o comprimento $a=c$ de cada um dos lados iguais de um triângulo isósceles, de base $b$ e área $A$ .

$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(8,6)\put(1,1){\line(3,4){3}}\put(4,5){\line(3,-4){3}}\put(1,1){\line(1,0){6}}\put(4,5){\line(0,-1){4}}\put(2.3,3.2){\textit{a}}\put(5.7,3.1){\textit{c}}\put(3.8,0.5){\textit{b}}\put(4.1,2.7){\textit{h}}\end{picture}$

Resolução: Seja $b$ a base. A altura une o ponto da base equidistante de cada vértice situado nos extremos; a distândia a cada um é igual a $\dfrac{b}{2}$ . Esta altura divide o triângulo isósceles de lados $a,b,c$ em dois triângulos rectângulos simétricos: o da esquerda de lados $a,\dfrac{b}{2}$ e $h$ e o da direita $c,\dfrac{b}{2}$ e $h$ , cada um com uma área igual a $A/2$ . Pelo Teorema de Pitágoras aplicado, por exemplo, ao da esquerda sabemos que

$a^2=h^2+\dfrac{b^2}{4}$

Como a área do triângulo de lados $a,b,c$ é $A=\dfrac{b\times h}{2}$ , $h=\dfrac{2A}{b}$ , podemos exprimir $a$ em função de $A,b$ :

$a=c=\sqrt{\dfrac{4A^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{4}}$

como é pedido.

Exercício de aplicação numérica: Sabendo que $A=12\text{ cm}^2$ e $b=6\text{ cm}$ , determine $a$ .

Resposta

$a=5\text{ cm}$

Em 4-3-2009, o leitor Thais, noutra entrada, colocou o seguinte problema que transcrevo, embora mudando-o para a ortografia do Português de Portugal:

Problema: Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45 b) 48 c) 50 d) 55 e) 58

???

Eis a minha resposta de 5-3-2009:

A resposta é 45.

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16 × 2,25 = 36 milhas e o navio Y, 12 × 2,25 = 27 milhas.
Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72 – 36 = 36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36²+27²=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas). Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a $\sqrt{2025}=45$ milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

[Reformulação geral em 17.03.2010 ]

18.03.10: Pode ver aqui um desafio relacionado com o teorema de Pitágoras, que reproduzo na íntegra:

Consegue aplicar o teorema de Pitágoras para explicar este logótipo? Melhor, acha que esta figura demonstra o teorema de Pitágoras?

Obs. Os dois quadrados maiores são iguais.

Fonte do logo — Primeiro slide de:

Hyperelliptic Curves, Continued Fractions and Somos Sequences, Algorithmic Number Theory, Turku, May 8, 2007

Alf van der Poorten (Emeritus Professor of Mathematics, ceNTRe for Number Theory Research, Sydney)

P.S. E agora?

Reportando-me à figura, as letras $a,b,c$ são os lados dos quadrados pretos e dos triângulos.

O quadrado da esquerda por ter os lados iguais a $a+b$ , tem de área $(a+b)^2$ . A área do da direita é igual. A área total do quadrado da esquerda é

$c^2+4\times\dfrac{ab}{2}=c^2+2ab$

A área total do da direita é

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

Igualando estas áreas, tem-se

$c^2+2ab=a^2+b^2+2ab$

donde se demonstra que

$c^2=a^2+b^2\ \square$

* * *

Ver também nesta minha entrada, Exemplo de «Le triangle», na página 54 da revista La Recherche Spécial Mathématiques Nov 2008 — demonstração do teorema de Pitágoras (Pythagore).

larecherchepitagoras1

________________

REFERÊNCIA: Philip Davis e Reuben Hersh, A Experiência Matemática, p. 146, Gradiva, 1995.

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Maio 16, 2008

Conferência Prof. João Caraça – Leonardo: A Curiosidade Infinita – 20 de Maio – 3ª feira – 18H00

Filed under: Ciência,Gulbenkian — Américo Tavares @ 9:11 pm
Tags: Gulbenkian, z.Diversos

Informação recebida da GULBENKIAN, com pedido de divulgação:

« Debate final com a participação de EDUARDO LOURENÇO

Leonardo: A Curiosidade Infinita

Fundação Calouste Gulbenkian / Auditório 2

20 de Maio / 18h00

Nascido entre o aparecimento da imprensa na Europa e a queda de Constantinopla, Leonardo foi a individualidade que melhor interpretou o espírito dos novos tempos que nessa época dealbavam. Na sequência de Arquimedes e dos grandes engenheiros e arquitectos da renascença cultivou como ninguém o método geométrico e mecânico de investigação da realidade. Leonardo ultrapassou os antigos em todos os domínios em que exprimiu o seu génio: da pintura ao desenho, da hidráulica à anatomia, a mecânica ao voo, da óptica à astronomia, tendo inclusivamente deixado nos seus cadernos as primeiras instruções conhecidas de construção de telescópios – cem anos antes de Galileu. Com Leonardo a arte afasta-se definitivamente da descoberta ou do reflexo de um outro mundo (divino) para passar a representar a profundidade e a riqueza da criação humana. O culto do rigor da observação e do registo da experimentação fazem de Leonardo um precursor da ciência moderna. A procura da perfeição e o estudo da mudança são as duas faces de uma mesma moeda que Leonardo fez rodar incansavelmente durante toda a sua vida. Ficou-nos, felizmente, o segredo desse motor: uma curiosidade infinita.

João Caraça

Transmissão directa através do site: http://live.fccn.pt/fcg/

Questões e comentários: leonardodavinci@gulbenkian.pt

(…)

http://www.leonardodavinciogenio.com

Rita Rebelo de Andrade

Serviço de Ciência - Fundação Calouste Gulbenkian

E. – leonardodavinci@gulbenkian.pt

T. (00351) 21782 3525 /F. (00351) 21782 3019 »

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Fórmulas de Apéry

Filed under: Combinatória,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemática Discreta,Problemas,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 7:19 am
Tags: Exercícios, Matemática, Problema

Prove as seguintes fórmulas

$\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}$ $\bigskip$
Caso particular para $x=n^{2}$ e $a_{k}=-k^{2}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\frac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }$ $\bigskip$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)$
em que
$\displaystyle\varepsilon _{n,k}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}}$ $\bigskip$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)=$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right)$ $\bigskip$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}$ $\bigskip$
$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=$ $\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}$

Resolução: veja a secção 3 deste artigo de Alf van der Poorten

http://www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf,

A proof that Euler Missed … (também disponível aqui), ou veja estas minhas notas.

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Maio 14, 2008

Descobrir a Moeda Falsa

Filed under: Problemas — Américo Tavares @ 8:45 am
Tags: Problema

pdf: ver caderno

Texto do desafio “A moeda contrafeita“, de António Ferrão, do blog

Ferrao.org :

« Imagine o leitor que está perante um conjunto de 27 moedas de ouro e uma balança mecânica de braços iguais. Dispõe apenas deste material.
É-lhe dito:
- Há uma moeda falsa.

- Que número mínimo de operações com a balança será necessário efectuar para se determinar com certeza qual é a moeda falsa? »

Ver meu comentário

http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/04/20/matematica-de-1%c2%aa-por-um-matematico-de-1%c2%aa/#comment-251

Passo a expor um método para conseguir determinar a moeda falsa do conjunto das 27, sem se saber se ela é mais ou menos pesada do que as restantes.

Para facilidade de exposição designo o conjunto das moedas por

$M=\lbrace m_1,m_2,\dots ,m_{27}\rbrace$ .

Divido este conjunto em três outros, com nove moedas cada, $M_I,M_{II},M_{III}$ , respectivamente

$M_I=\lbrace m_1,m_2,\dots ,m_{9}\rbrace$

$M_{II}=\lbrace m_{10},m_{11},\dots ,m_{18}\rbrace$

$M_{III}=\lbrace m_{19},m_{20},\dots ,m_{27}\rbrace$ .

A seguir faço as seguintes pesagens:

Passo 1 - coloco num dos pratos da balança as moedas do conjunto $M_I$ e no outro as do $M_{II}$ . Se a balança ficar em equilíbrio, a moeda falsa pertence ao conjunto $M_{III}$ e prossigo para o passo 5. Senão, prossigo para o passo 2.
Passo 2 – substituo as moedas do prato mais elevado pelas de $M_{III}$ e vejo se o pratos se equilibram, o que indicaria que uma das moedas do prato que estava mais elevado era mais leve. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos: se for o das moedas $M_{III}$ , é porque uma das moedas do outro prato é mais pesada; caso contrário, uma das moedas do outro prato é mais leve.
Passo 3 – das nove moedas que têm peso diferente, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. Senão, a moeda falsa é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada.
Passo 4 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. Caso contário, é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada. FIM.
Passo 5 - das nove moedas de $M_{III}$ , escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. ~~FIM~~. Senão, prossigo para o passo 8.
Passo 6 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. FIM. Senão houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos.
Passo 7 – comparo a moeda do prato que pesa menos com a moeda que ficou de fora: a que pesava menos é falsa se continuar a pesar menos, caso contário é a que está no prato que pesa mais. FIM.
Passo 8 - transfiro duas moedas do prato mais leve para o mais pesado e uma do mais pesado para o mais leve, ficando duas moedas em cada prato. Podem acontecer três situações:
- a balança ficar desequilibrada para o mesmo lado — a moeda falsa é a que não foi mexida; FIM.
- a balança continuar desequilibrada, mas com inversão do sentido do desiquilíbrio — a moeda falsa é a que foi transferida do prato mais pesado; FIM.
- a balançar ficar equilibrada — faço uma última pesagem no passo 9.
Passo 9 – escolho uma das duas moedas que não foram transferidas de prato e comparo o seu peso com qualquer das moedas de $M_{I}$ ou $M_{II}$ , que sei não ser falsa. Podem acontecer dois casos:
- a balança ficar equilibrada — a moeda falsa é a que não foi pesada; FIM.
- a balança ficar desequilibrada — a moeda falsa é a que está no prato mais pesado. FIM.

Os casos possíveis são então:

Passo 1, Passo 5, Passo 6: 3 pesagens
Passo 1, Passo 5: Passo 6, Passo 7: 4 pesagens
Passo 1, Passo 5, Passo 8: 3 pesagens
Passo 1, Passo 5, Passo 8, Passo 9: 4 pesagens
Passo 1, Passo 2, Passo 3, Passo 4: 4 pesagens

Por este método consegue-se isolar a moeda falsa em 4 pesagens no máximo.

NOTA: por abuso de linguagem digo prato mais leve e mais pesado querendo significar o prato com o conjunto de moedas menos ou mais pesado.

[Correcção de 15-5-2008: no passo 5 e nos casos possíveis - ver comentário de António Ferrão.]

ADENDA de 15-5-2008: uma abordagem que parte do princípio que a moeda falsa é mais leve do que as restantes, devido a haver pouquíssimos metais mais densos do que o ouro (veja comentário de António Ferrão), traduz-se, com uma forma de esquematização idêntica à de acima, em:

Faço as seguintes pesagens:

Passo 1 - coloco num dos pratos da balança as moedas do conjunto $M_I$ e no outro as do $M_{II}$ . Se a balança ficar em equilíbrio, a moeda falsa pertence ao conjunto $M_{III}$ . Se desiquilibar a moeda falsa é uma das que está no prato mais leve.
Passo 2 – das nove moedas que incluem a falsa, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. Senão, a moeda falsa está no prato mais leve.
Passo 3 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. FIM. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos: nele está a moeda falsa. FIM.

Estas 3 pesagens são suficientes para identificar a moeda falsa.

(Adaptado do comentário de Luisa Novo no post http://ferrao.org/2008/04/moeda-contrafeita.html:

« 3 pesagens no mínimo.

1ª em conjuntos de nove moedas em cada prato
2ª em conjuntos de 3 em cada prato
3ª uma em cada prato

Sempre que a balança equilibre com 2 conjuntos, a moeda falsa estará 3º conjunto no grupo que ficou de fora. Cada vez que a balança desequilibrar a moeda estará no prato com menos peso. » )

$\bigskip$

Este método é generalizável a qualquer conjunto de $3^n$ moedas, em que apenas uma seja mais leve do que as restantes. São suficientes $n$ pesagens para identificar a moeda contrafeita.

$\bigskip$

Neste post

http://www.smart-kit.com/s352/good-math-mind-bender-which-coin-is-the-countefeit/

poderá encontrar, em inglês, um problema semelhante para 8 moedas.

$\bigskip$

NOVA ADENDA de 15-5-2008: nesta entrada de António Chaves Ferrão

$\bigskip$

http://ferrao.org/2008/05/amrico-tavares-moeda-contrafeita.html

$\bigskip$

poderá encontrar uma explicação sobre a ligação deste problema à teoria da informação de Shannon, e a consideração da possibilidade teórica de fabricar « uma moeda contrafeita por deposição electrolítica de uma camada externa de ouro num núcleo de volfrâmio. Como este metal possui a mesma massa volúmica que o ouro, fica aberta uma terceira hipótese, a de que a moeda contrafeita tenha o mesmo peso que as genuinas. O problema, colocado nestes termos, deixa de poder ser resolvido com recurso a uma balança. »

$\bigskip$

[16-5-2008: Alterado título anterior: Moeda Falsa]

[21-8-2008: corrigido "se não" para "senão"]

[4-11-2008: corrigido lapso no nome do leitor/comentador "Frazão" para "Ferrão"]

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Maio 13, 2008

Série de Fourier da Onda Quadrada

Filed under: Análise de Fourier,Análise Matemática,Caderno,Cálculo,Matemática,Séries — Américo Tavares @ 7:14 am
Tags: Caderno, Matemática

pdf: ver caderno

Primeiras somas parciais de $\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots$

Onda quadrada (a vermelho) no intervalo $\lbrack -\pi ,\pi \rbrack$

$f(x)=$ $\left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.$

e as somas parciais dos cinco primeiros termos da série de Fourier

$f(x)=$ $\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$

Em virtude de $f\left( x\right)$ ser par $b_{n}=0$

$f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx$

Os coeficientes $a_{n}$ são

$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots$

$a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1$

$a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }$

$a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }$

$a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=\dfrac{2}{5\pi }$

$a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }$

$a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0$

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

ADENDA de 14-6-2008: observação: nesta entrada escrevi:

Dada uma função $f\left( x\right)$ definida no intervalo $x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ , se $f\left( x\right)$ satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para $\dfrac{1}{2}\lbrack\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack$ . Mas, o que é que acontece fora do intervalo $\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de $f\left( x\right)$ . Se $f\left( x\right)$ for periódica de período $2\pi$ , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo $a_{1}\cos x+b_{1}\sin x$ designamo-lo por fundamental, o termo $a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx$ , harmónica de ordem $n$

NOTA de 16-7-2008: esta entrada foi integrada em Série de Fourier 6 – Problemas III

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Maio 12, 2008

Conferência na Gulbenkian: O Papel Revolucionário da Nanotecnologia e das Células Estaminais na Medicina Regenerativa

Filed under: Ciência,Gulbenkian — Américo Tavares @ 5:43 pm
Tags: Gulbenkian, z.Diversos

Informação recebida da GULBENKIAN, com pedido de divulgação:

« O Serviço de Ciência da Fundação Calouste Gulbenkian, em colaboração com a Ciência Viva, realiza no Auditório 2 da Fundação Calouste Gulbenkian (Av. de Berna, 45 A) a conferência – O Papel Revolucionário da Nanotecnologia e das Células Estaminais na Medicina Regenerativa – que terá lugar no dia 14 de Maio, às 18h00, e será proferida pela Profª Doutora Manuela Gomes do IBB – Instituto de Biotecnologia e Bioengenharia, Universidade do Minho. (…)

Poderá também assistir em directo através do site: http://live.fccn.pt/fcg/ e enviar as suas questões (fronteiradaciencia@gulbenkian.pt) que o orador responderá no final da sessão. Outras informações relativas a esta iniciativa estão disponíveis no site www.gulbenkian.pt/fronteiradaciencia .

Junto tenho o gosto de enviar o texto introdutório do Prof. João Caraça, Director do Serviço de Ciência,

Na Fronteira da Ciência

A ciência dedica-se ao estudo dos fenómenos da natureza e das suas interacções. Sendo o universo infinito, o processo de o apreendermos, acompanhando o progresso da ciência, não pode parar nem retroceder. A fronteira pula e avança.

Mas a ciência é também um poderoso veículo da cultura das sociedades contemporâneas e do exercício da cidadania. Por este motivo, torna-se necessário que cada vez se faça mais investigação e em melhores condições. O conhecimento científico está na base do espírito crítico, da atitude participativa, da verificação sistemática das condições do funcionamento da realidade de todos os dias.

A democracia é o único regime político que permite questionar livremente a relação da ciência com a sociedade. Ciência e democracia estão, pois, indissoluvelmente ligadas. Importa assim que todos compreendam os desafios e as perspectivas novas que decorrem das actividades na fronteira da ciência. Essas percepções são um poderoso indicador das oportunidades bem como das dificuldades com que se depara a nossa sociedade.

A leitura que fazemos do presente com vista ao futuro é a utopia que se tornará realidade no intervalo de uma geração. Torna-se assim tão importante falar sobre a ciência como fazer investigação na sua fronteira. É este encontro entre a ciência e os cidadãos que é fundamental promover. Para que as suas implicações sejam claras para todos – e para que o gosto pela aventura e pela descoberta perdure como aspiração colectiva.

João Caraça

bem como o currículo da Profª Doutora Manuela Gomes e o resumo da conferência.

MANUELA GOMES

É co-orientadora de vários alunos de Mestrado e de Doutoramento. Foi duas vezes galardoada com o prémio da Sociedade Americana de Biomateriais (Student Travel and Professional Development Award).

É autora de vinte e dois artigos publicados em revistas internacionais e de dezasseis capítulos de livros. Desenvolve o seu trabalho como investigadora no grupo 3B´s, centrado no estudo da funcionalidade in vivo e criopreservação de materiais híbridos, obtidos por estratégias de engenharia de tecidos, para regeneração de osso e cartilagem, utilizando células estaminais isoladas a partir de diferentes fontes. Recentemente foi contratada como Professora Auxiliar Convidada no âmbito do programa MIT-Portugal.

O PAPEL REVOLUCIONÁRIO DA NANOTECNOLOGIA

E DAS CÉLULAS ESTAMINAIS NA MEDICINA REGENERATIVA

MANUELA GOMES

A Engenharia de Tecidos é uma área científica recente mas em franca expansão. Os desenvolvimentos conseguidos nesta área têm contribuído significativamente para diversos avanços no campo da Medicina Regenerativa. Esta ciência interdisciplinar combina os conhecimentos de áreas tão distintas como a Engenharia de Materiais e as Ciências da Vida, com a finalidade de desenvolver substitutos sintéticos para tecidos humanos. Para se atingir este objectivo utilizam-se, de uma forma genérica, combinações específicas de células e de materiais de suporte tridimensionais com propriedades adequadas, gerando um material híbrido (constituído por um componente biológico – as células – e um componente sintético – o material de suporte) cujas características podem ainda ser moduladas através do sistema de cultura usado. Os recentes avanços da Nanotecnologia têm também proporcionado desenvolvimentos significativos na área da engenharia de tecidos. De uma forma genérica, a Nanotecnologia refere-se a um campo da ciência e da tecnologia aplicada, no qual o controlo da matéria é efectuado ao nível molecular. De facto, as recentes investigações na área de materiais micro e nanoestruturados para aplicações na Engenharia de Tecidos têm-se baseado na premissa que estes nanomateriais e nanoestruturas podem ser sintetizados e funcionalizados em dimensões semelhantes às dos constituintes dos próprios tecidos a regenerar.

14 de Maio de 2008

(…)

Rita Rebelo de Andrade

Serviço de Ciência

E. – randrade@gulbenkian.pt

T. (00351) 21782 3525 /F. (00351) 21782 3019 »

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Maio 8, 2008

Matemática A – 12.º ano – Teste Intermédio

Filed under: Matemática,Matemática-Secundário,Teste — Américo Tavares @ 8:41 am
Tags: Matemática, Matemática-Secundário, Teste

Link:

http://www.gave.min-edu.pt/np3content/?newsId=9&fileName=MA12_T2_ec_v1.pdf

Fonte: GAVE

http://www.gave.min-edu.pt/np3/9.html

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Maio 5, 2008

Duas questões de Análise Complexa

Filed under: Análise Complexa,Análise Matemática,Exercícios Matemáticos,Matemática,Problemas — Américo Tavares @ 10:01 am
Tags: Matemática, Problema

Nota de 27-5-2009: o blogue echoone deixou de estar disponível.

Passagem do blogue

http://echoone.wordpress.com/,

entrada

Introductory Complex Analysis Final

(tradução e adaptação do inglês).

« (…) Demonstre que as equações de Cauchy-Riemann se escrevem em coordenadas polares

$u_r=\dfrac{v_\theta}{r}$

$v_r=-\dfrac{u_\theta}{r}$

(…) Determine o valor de

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2}x}{x^2}dx$ (…) »

Adenda de 3.03.10:

Resolução: veja a alínea (h) desta entrada

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