Integrais impróprios; a função gama

O integral de Riemann de uma função f(x), real de variável real, define-se só para o caso em que essa função integranda existe e é definida para a\le x\le b, com a e b finitos:

\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx

 Nos chamados integrais impróprios não se verificam algumas destas condições.   

Há três tipos de integrais impróprios:

Integrais impróprios de primeira espécie, se a função integranda f(x) existe e é definida para a\le x<+\infty, com a finito ou então  para -\infty<x\le b, com b finito:

I=\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx= \displaystyle\lim_{b\to +\infty}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \;dx

Exemplo: \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^3}\;dx 

\displaystyle\int_{-\infty}^{b} f(x)\;dx= \displaystyle\lim_{a\to -\infty}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \;dx

Exemplo: \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{1+x^2}\;dx

Integrais impróprios de segunda espécie, se a função integranda tiver uma singularidade no extremo inferior a finito do intervalo de integração, mas para todo o c>a existir  o integral de Riemann de f(x) para  c\le x\le b:

I_i=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx= \displaystyle\lim_{c\to a^+}\displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \;dx

Exemplo: \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\log x}{1+x}\;dx,

ou se a função integranda tiver uma singularidade no extremo superior b finito do intervalo de integração, mas para todo o c<b existir  o integral de Riemann de f(x) para a\le x\le c:

I_s=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx= \displaystyle\lim_{c\to b^-}\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \;dx;

Exemplo: \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\;dx.

Integrais impróprios mistos, se forem simultaneamente de primeira e segunda espécie 

Exemplo: \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\;dx.
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Um integral impróprio diz-se convergente se o limite que o define existir e divergente no caso contrário. 
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À semelhança das séries existem critérios para determinar a convergência ou divergência de um dado integral impróprio partindo do conhecimento da convergência ou divergência de outro. A sua formulação para os integrais de primeira espécie é a dos dois teoremas seguintes, entre outros. Para os de segunda espécie, os teoremas, com as correspondentes alterações,  são igualmente válidos.
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Teorema (critério de comparação):  Suponhamos que as funções integrandas f(x) e g(x) são não negativas; e
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i. f(x)\le g(x) para x\ge c.
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Então,
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a) se \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx for convergente, \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx também é convergente;
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b) se \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx for divergente, \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx também é divergente.
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Teorema (critério do limite):  A - Suponhamos que as funções integrandas f(x) e g(x) são não negativas; e

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i. \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L, com L finito e diferente de 0.

Então, os dois integrais \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx e  \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx

são ambos convergentes ou divergentes.

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B – Suponhamos que as funções integrandas f(x) e g(x) são não negativas; e

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ii. \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0,

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Então, se \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx for convergente,   \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx é convergente.

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C – Finalmente, suponhamos que as funções integrandas f(x) e g(x) são não negativas; e

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iii. \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=+\infty,

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Então, se \displaystyle\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx for divergente,   \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x);dx é divergente.

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Para aplicação destes critérios é útil dispormos de alguns integrais de referência cuja convergência ou divergência conheçamos.

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I=\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx

  • Se f(x)=\dfrac{1}{x^p}\qquad (a>0, p\le 1),\qquad I é divergente;
  •  Se f(x)=\dfrac{1}{x^p}\qquad (a>0, p>1),\qquad I é convergente;
  •  Se f(x)=\dfrac{1}{1+x}\qquad (a\ge 0),\qquad I é divergente
  •  Se f(x)=x^{\alpha}\;e^{-x}\qquad (a>0,\alpha\in\mathbb{R}),\qquad I é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(\log x)^p}\qquad (a>1,p>0),\qquad I é divergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{x\;(\log x)^p}\qquad (a>1,p>1),\qquad I é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{x\;(\log x)^p}\qquad (a>1,p\le 1),\qquad I é divergente;

e para os integrais de segunda espécie com uma singularidade em x=b

I_s=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx

ou com uma singularidade em x=a

I_i=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx

  • Se f(x)=\dfrac{1}{(b-x)^p}\qquad (0< p< 1),\qquad I_s é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(b-x)^p}\qquad ( p\ge 1),\qquad I_s é divergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^p}\qquad (0< p< 1),\qquad I_i é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^p}\qquad ( p\ge 1),\qquad I_i é divergente;
  • Se f(x)=\dfrac{\sin x}{x^p}\qquad (a=0,b=\dfrac{\pi}{2},p<2),\qquad I_i é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{\sin x}{x^p}\qquad (a=0,b=\dfrac{\pi}{2},p\ge 2),\qquad I_i é divergente.

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PROBLEMA: mostre que a função gama

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt

é convergente se e só se x>0. Integre por partes e obtenha a relação

\Gamma (x+1)=x\;\Gamma (x)\qquad (x>0)

e verifique  que \Gamma (1)=1, pelo que

\Gamma (n+1)=n!.

Actualização de 14-3-2008: Alteração da notação dos integrais com singularidades nos extremos inferior e superior do intervalo de integração.

ADENDA de 23-1-2009: pode ver aqui uma aplicação de alguns dos teoremas deste artigo à função gama

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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