Múltiplos e quadrados perfeitos (das XXV OPM)

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Este problema foi retirado das Olimpíadas de Matemática de 2006 (categoria B 10º-12º): 4º problema da 1ª eliminatória das XXV OPM .
     

Escreve-se por ordem crescente cada um dos múltiplos de 3 cuja soma com 1  é um quadrado perfeito

3,15,24,48,\ldots

Qual é o 2006.º múltiplo que se escreve?

Resolução
   
    Apresento a minha resolução a seguir, que o leitor pode comparar com outras duas propostas de resolução mais elegantes (da SPM)  .

Os primeiros quadrados perfeitos a seguir ao 2  são:

4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,\ldots ,\left( n+1\right)^{2}\ldots

dos quais se obtêm, por subtracção de 1 a cada,

u_{1}=3,u_{2}=8,u_{3}=15,u_{4}=24,u_{5}=35,

u_{6}=48,u_{7}=63,u_{8}=80,u_{9}=99,u_{10}=120

u_{11}=143,u_{12}=168,u_{13}=195,u_{14}=224,\ldots ,u_{n}=\left(n+1\right) ^{2}-1,\ldots

Destes, como u_{2}=8,u_{5}=35,u_{8}=80,u_{11}=143,u_{14}=224 não são  múltiplos de 3, ficam

u_{1}=3,

u_{3}=15,u_{4}=24,

u_{6}=48,u_{7}=63,

u_{9}=99,u_{10}=120,

u_{12}=168,u_{13}=195,\ldots

Confirmemos: para n=2,3,4,5,\ldots

u_{3n-4}=\left( 3n-4+1\right) ^{2}-1=3\left( 3n^{2}-6n+2\right) +2

não são múltiplos de 3. Por outro lado, para n=3,4,5,\ldots

u_{3n-5}=\left( 3n-5+1\right) ^{2}-1=\left( 3n-4\right) ^{2}-1=3\left(3n^{2}-8n+5\right)

u_{3n-6}=\left( 3n-6+1\right) ^{2}-1=\left( 3n-5\right) ^{2}-1=3\left(3n^{2}-10n+8\right)

são claramente múltiplos de 3.

Assim, em cada três termos consecutivos u_{n} (com n\geq 3), os primeiros dois são múltiplos de 3 e o terceiro não o é.

Se renumerarmos os índices e chamarmos à nova sucessão v_{n} , temos

v_{1}=2^{2}-1=3,

v_{2}=4^{2}-1=15,

v_{3}=5^{2}-1=24,

v_{4}=7^{2}-1=48,

v_{5}=8^{2}-1=63,

v_{6}=10^{2}-1=99,

v_{7}=11^{2}-1=120,

v_{8}=13^{2}-1=168,

v_{9}=14^{2}-1=195,\ldots

e o que se pede é v_{2006} .

Como o número de inteiros cujos quadrados menos um dividem três é igual a:

  •  1 no grupo de números 2 a 3 inclusive;
  •  2 em cada grupo de três números a seguir ao 3, ou seja, de 4 a 6, de 7 a 9, etc.
  •  2005 de 2 a 3009, em virtude de

\dfrac{3009}{3}=1003=1+1002

1\times 1+1002\times 2=2005

e,  reparando que  o último destes inteiros é o que corresponde a 3008 e não a 3009  (3009^2-1 não é múltiplo de 3),

v_{2005}=3008^{2}-1=9048\,063.

O termo seguinte é o resultado procurado

v_{2006}=3010^{2}-1=9060\,099.

Actualização de 8-3-2006: ligeiras alterações.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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