Na entrada anterior referi uma demonstração atribuída a Euclides sobre a inexistênciade um número primo maior do que qualquer outro. Este enunciado é equivalente a:

  • A sucessão dos números primos é ilimitada.
  • Há uma infinidade de números primos, ou seja, o conjunto de números primos é infinito.

Parte-se da  representação da função zeta através do produto de Euler

\displaystyle\zeta\left(s\right)= \displaystyle\prod\limits_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1},

em que os factores do produto varrem todos os números primos p. Se o número  de primos fosse finito, o que aconteceria ao produto de Euler, quando tomamos limites, fazendo tender s através da recta real para 1 por valores superiores?

\displaystyle\lim_{s\rightarrow 1^{+}} \displaystyle\prod\limits_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1} =\displaystyle\prod\limits_{p}\frac{1}{1-\dfrac{1}{p}}

É claro que

\displaystyle\prod\limits_{p}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}}

assumiria um valor finito, se houvesse um número finito de números primos. Mas, como sabemos que a série harmónia é divergente 

\displaystyle\lim_{s\rightarrow 1^{+}} \displaystyle\zeta\left(s\right)=  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n}

obtemos uma contradição, pelo facto de inicialmente termos admitido que haveria um número finito de primos. \blacksquare

Bibliografia consultada: PATTERSON, S. J., An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function, Cambridge Studies In Advanced Mathematics 14, Cambridge University Press, 1988.