A Demonstração de Euler do Teorema da infinidade de números primos

Na entrada anterior referi uma demonstração atribuída a Euclides sobre a inexistênciade um número primo maior do que qualquer outro. Este enunciado é equivalente a:

  • A sucessão dos números primos é ilimitada.
  • Há uma infinidade de números primos, ou seja, o conjunto de números primos é infinito.

Parte-se da  representação da função zeta através do produto de Euler

\displaystyle\zeta\left(s\right)= \displaystyle\prod\limits_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1},

em que os factores do produto varrem todos os números primos p. Se o número  de primos fosse finito, o que aconteceria ao produto de Euler, quando tomamos limites, fazendo tender s através da recta real para 1 por valores superiores?

\displaystyle\lim_{s\rightarrow 1^{+}} \displaystyle\prod\limits_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1} =\displaystyle\prod\limits_{p}\frac{1}{1-\dfrac{1}{p}}

É claro que

\displaystyle\prod\limits_{p}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}}

assumiria um valor finito, se houvesse um número finito de números primos. Mas, como sabemos que a série harmónia é divergente 

\displaystyle\lim_{s\rightarrow 1^{+}} \displaystyle\zeta\left(s\right)=  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n}

obtemos uma contradição, pelo facto de inicialmente termos admitido que haveria um número finito de primos. \blacksquare

Bibliografia consultada: PATTERSON, S. J., An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function, Cambridge Studies In Advanced Mathematics 14, Cambridge University Press, 1988.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Análise Matemática, Demonstração, Matemática, Teorema, Teoria dos Números com as etiquetas , . ligação permanente.

3 respostas a A Demonstração de Euler do Teorema da infinidade de números primos

  1. len diz:

    Américo, gostei muito deste blog e já o favoritei; agora estou lendo os posts antigos e todos são brilhantes, também.

    Sobre este post da demonstração euleriana da infinitude dos números primos, gostaria de saber algumas coisas sobre este famoso resultado:

    1) A demonstração de Euler pode ser provada na “Teoria Elementar dos Números” ???

    nota sobre este item: o Teorema do Números Primo, formulado por Gauss [e mais tarde, por Legendre] foi provado em 1896, pela dupla Hadarmard e Vallé-Poussin, no qual eles usaram métodos analíticos. Tempos depois, uma prova “elementar” do mesmo Teorema foi demonstrada pela dupla Paul Erdös e Atle Selberg, em 1947. Assim, eu só queria saber se o “Teorema de Euler do Inverso dos nrºs primos” pode ser provado na mesma Teoria dos Números, usada por Erdös e Selberg.

    2)A demonstração de Euler pode ser provada com progressões aritméticas ?????

    3)A demonstração de Euler pode ser provada na “Teoria Algébrica dos Números” ??????

    • Obrigado pelas suas palavras.

      Se s for real, e para esta demonstração isso é suficiente, a decomposição de \zeta(s) no produto de Euler não necessita de métodos de Análise Complexa, apenas de Análise Real. Assim esta demonstração poderá considerar-se do âmbito da “Teoria Elementar dos Números”, e não da “Teoria Analítica [Complexa] dos Números”. Sobre a divergência da série dos inversos dos primos, pode ver uma demonstração em “An Elementary Proof of the Divergence of the Infinite Inverse Prime Number Series” de Hussain Elalaoui-Talibi (http://ajmonline.org/2006/Talibi.pdf), que indica a referência Ireland, K. and Rosen, M., 1990, A Classical Introduction to Modern Number Theory.

      Quanto às duas últimas perguntas, não lhe sei responder.

  2. len diz:

    Muito obrigado Américo, pela sua resposta á meu conjunto de dúvidas !!!!!!!!!!!

    Adoro esta interação entre blogueiros e seus usuário visitantes; além disso, quero afirmar que como internauta brasileiro, o seu blog é bem melhor do que alguns feitos aqui no Brasil, por estudantes de graduação e matemáticos profissionais.

    É assim, com esta ponte entre Brasil e Portugal que vamos caminhando juntos no paraíso das descobertas do Universo Matemático.

    Adeus e até a próxima visita … !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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