Teorema: Não existe um número primo maior do que todos os outros.

Demonstração: (atribuída a Euclides)

Admitimos que há um número primo maior do que todos os outros e vamos ver que obtemos uma contradição.

Suponhamos então que p era o maior dos primos. Se formarmos o produto de todos os primos

P = 2 x 3 x 5 x … x p ,

vemos que P + 1 teria um divisor primo p’, divisor esse que pertenceria à sucessão

(2, 3, 5, …, p)

de todos os primos, pelo que, em símbolos:

 

 

p’ | (P + 1);

 

 

mas, como p’ é também um dos divisores de P,

p’ | P ,

 p’ dividiria simultaneamente P e P + 1, logo deveria dividir igualmente 1:

p’ | 1.

Este resultado é contraditório, porque o inteiro 1 não é múltiplo de nenhum outro inteiro maior ou igual a 2. Esta contradição resultou do facto de termos admitido que a sucessão dos números primos era limitada. O teorema fica assim demonstrado.  \blacksquare

Adaptado de CALADO, J., Compêndio de Aritmética Racional, Ensino Liceal, 3º ciclo, Ministério da Educação Nacional, Livraria Cruz, Braga, 1967.