Problemas Teoremas

Janeiro 28, 2008

Ciclo de conferências Gulbenkian “Na Fronteira da Ciência”. 2ª, a 30 Jan.: Profª Doutora Ana Viana-Baptista, Podemos Prever Um Tsunami?

Filed under: Ciência,Divulgação,Gulbenkian — Américo Tavares @ 8:51 am
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Realiza-se na Gulbenkian, às 18 h, do próximo dia 30, integrada no Ciclo  “Na Fronteira da Ciência” a Conferência “Podemos Prever Um Tsunami?” da Profª Ana Viana-Baptista, do ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa, da qual foi divulgado o seguinte resumo, que transcrevo:  

 

 

“O tsunami gerado pelo sismo de 1 de Novembro de 1755 foi o maior desastre natural verificado em Portugal. O sismo ocorreu cerca das 9h30, hora de Lisboa, tendo sido sentido um pouco por toda a Europa. O tsunami foi observado no Atlântico Norte, desde as Ilhas Barbados até à Escócia; no entanto as ondas mais destrutivas ocorreram em Portugal Continental, Espanha (Golfo de Cádiz) e no Norte de Marrocos. As dimensões catastróficas deste evento deram origem a uma onda de solidariedade e de consternação a nível global.

 

Passados cerca de duzentos e cinquenta anos, no início do século XXI, a Humanidade assiste quase em directo, pela televisão, ao desenrolar de duas catástrofes naturais de grandes dimensões: o tsunami de Sumatra e o furacão Katrina. O que tiveram em comum estas duas catástrofes? Ambas são fenómenos altamente energéticos e com um elevado poder devastador; por outro lado, verificou-se a incapacidade de ser prestado auxílio às populações em fuga e a enorme vulnerabilidade dos locais atingidos, quer se trate de um dos países mais ricos do mundo ou do litoral mais pobre do oceano Índico.

Os tsunamis têm um potencial destrutivo enorme, sendo gerados por grandes sismos, por gigantescos deslizamentos de terrenos ou por grandes explosões vulcânicas. Os furacões são gerados pela evolução de tempestades tropicais, em regiões onde a temperatura da água do mar à superfície é elevada. Se bem que envolvendo escalas temporais distintas, ambos são fenómenos globais no que diz respeito ao impacto social e económico.

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Janeiro 27, 2008

Série zeta alterna

Filed under: Análise Matemática,Matemática,Séries,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 3:47 pm
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Retomo a questão um pouco mais geral do que o caso particular já visto  nesta entrada através de uma aplicação simples da Análise de Fourier, e que é o da soma da série zeta de termos alternadamente positivos e negativos, mas agora a partir do conhecimento da soma da série zeta propriamente dita, \zeta (n)

 \zeta (n)= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{k^n}.

 Aqui designarei por \zeta_{a}(n) a série alterna

 \zeta_{a}(n)= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^n}

O caso particular traduz-se em

\zeta_{a}(2)= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}= \displaystyle\frac{\pi^2}{12}.

A série alterna obtém-se da série de termos positivos deixando ficar os de ordem ímpar e subtraindo duas vezes os de ordem par:

\zeta_{a}(n)= \zeta (n) -2\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{(2k)^n}= \zeta (n) -\dfrac{2}{2^n}\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{k^n}= \zeta (n) -\dfrac{2}{2^n}\zeta (n)

ou seja

\zeta_{a}(n)= \left (1 -\dfrac{2}{2^n}\right ) \zeta (n).

Ora no mesmo sítio vimos que 

\zeta (2)=\dfrac{\pi^2}{6}

donde, efectivamente

\zeta_{a}(2)= \left (1 -\dfrac{2}{4}\right ) \dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{\pi^2}{12}.

Em termos numéricos, como o erro da série alterna é no máximo igual ao do primeiro termo desprezado, podemos calcular através dela o valor aproximado da série zeta com uma maior precisão do que calcularíamos se recorressemos às somas parciais da sua série definidora.

 

Janeiro 14, 2008

Transformação das somas parciais de zeta(n) em fracção contínua

Filed under: Caderno,Fracções Contínuas,Matemática,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 10:17 am
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No caderno mostro como transformar as somas parciais da série \zeta (n) em fracção contínua:

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\frac{1}{k^n}=\displaystyle\frac{1}{1+K_{j=1}^{N}\left (\displaystyle\frac{-j^{2n}}{(j+1)^{n}+j^{n}}\right ) }

pelo que

\zeta (n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^n}=\displaystyle\frac{1}{1+K_{j=1}^{\infty}\left ( \displaystyle\frac{-j^{2n}}{(j+1)^{n}+j^{n}}\right ) }

Janeiro 11, 2008

Primitivas imediatas

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Matemática,Matemáticas Gerais,Primitivas — Américo Tavares @ 9:28 am
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Incluí as seguintes primitivas imediatas na página Notação e Formulário, em relação às quais falta a menção explícita da constante de integração. Esta lista ainda está em construção e no futuro serão aí acrescentadas outras. 

P\;u^{n}\times u'=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} \;  ( n\neq -1 )

P\;u^{-1}\times u'=\log |u|

P\;\displaystyle\frac{u'}{\sqrt[n]{u^{n-1}}} =n\sqrt[n]{u^{n-1}}

P\;\sin u\times u'=-\cos x

P\;\cos u\times u'=\sin x

P\;\sec^2 u\times u'=\tan x 

P\;\csc^2 u\times u'=-\cot x 

P\;\sec u\times\tan u\times u'=\sec u 

P\;\csc u\times\cot u\times u'=-\csc u 

P\;\displaystyle\frac{u'}{\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1} u \; ( |u|<1 )

P\;\displaystyle\frac{u'}{\sqrt{1-x^2}}=-\cos^{-1} u \; ( |u|<1 )

Janeiro 10, 2008

Um clássico da antiga 4.ª classe

Filed under: Matemática,Matemática-Básico,Matemática-Secundário — Américo Tavares @ 12:30 pm
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Uma torneira enche um tanque em 18 horas e outra em 9 horas. Estando as duas torneiras a deitar água, em quanto tempo enchem o tanque?

Resolução

Vamos resolver este problema sem utilizar equações, o que até é mais difícil do que se o fizessemos, para nos mantermos dentro deste nível de ensino, em que os alunos não tinham dado equações.

A primeira coisa em que devemos pensar é o que podemos somar, a partir dos dados do enunciado. Pensando que cada uma das torneiras debita um certo caudal de água, se ambas estiverem abertas simultaneamente, o caudal total é a soma dos caudais individuais. Neste caso, em vez de trabalharmos com os caudais directamente, consideramos a fracção do tanque que cada uma enche por hora:

  • a torneira que demora 18 horas a encher o tanque, numa hora, enche 1 / 18 desse tanque;
  • a que demora 9 horas enche, numa hora, 1 / 9 do tanque.

Por isso, as duas enchem-no numa hora na fracção 1 / 18 + 1 / 9

\dfrac{1}{18}+\dfrac {1}{9}=\dfrac{1}{18}+\dfrac{2}{18}=\dfrac{3}{18}=\dfrac{1}{6} ,

logo demoram 6 horas a encher o tanque.

Se recorressemos às equações, teríamos, chamando V ao volume do tanque e Q_{1} e Q_{2} ao caudal de cada torneira :

V=18\times Q_{1}

V=9\times Q_{2}

e o caudal total Q verifica a equação

Q=Q_{1}+Q_{2}

e o tempo t de enchimento do tanque,

V=t\times Q.

Resolvendo estas equações, vem, sucessivamente

Q=Q_{1}+Q_{2}=\dfrac{V}{18}+\dfrac{V}{9}

V=t\times \left ( \dfrac{V}{18}+\dfrac{V}{9}\right )

1=t\times\left ( \dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{9}\right )

1=t\times \dfrac{1}{6}

t=6 (horas).

Seguindo a mesma linha de raciocínio, com ou sem equações, determinar quanto demorariam simultaneamente três torneiras a encher um tanque, sabendo que cada uma delas demora, respectivamente, 1, 1,5 e 3 horas.

Resolução

Então virá: a fracção do tanque enchida pelas três torneiras numa hora é

1 + 1 / 1,5 + 1 /3 = 1 + 2 / 3 + 1 / 3 = 7 /3 ;

Se numa hora  7 / 3 do tanque seria cheio, o tanque inteiro demora, em horas,  1 / ( 7 / 3 ) = 3 / 7 ,  ou seja 180 / 7 minutos (cerca de 25 minutos e 42, 857 segundos).

Aditamento de 15-06-2009

 

 

 

Exames comparação antiga 4.ª classe com actual 4.º ano. Fonte: Expresso, 13.06.09

Exames comparação antiga 4.ª classe com actual 4.º ano. Fonte: Expresso, 13.06.09

 

 

 

 

Janeiro 7, 2008

Novo livro de Nuno Crato

Filed under: Ciência,Matemática,Vídeo — Américo Tavares @ 9:14 am
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 Nuno Crato

Nuno Crato,  Presidente da S. P. M, é o autor do livro “Passeio Aleatório”, recentemente publicado pela Gradiva, baseado nas suas crónicas do mesmo nome, no Expresso. Como leitor admiro a sua capacidade de se exprimir de forma clara e motivadora.

Penso  que  o trabalho dele, no Expresso, agora estará mais dificultado pelo pouco espaço que tem para explicar qualquer ideia: só com grande capacidade de síntese. Por isso mesmo, deveria ser mais improvável a Sociedade Europeia de Matemática (EMS) voltar a atribuir-lhe um prémio de cariz semelhante ao que obteve  há poucos anos,  pela divulgação dos fundamentos aritméticos da codificação / descodificação de dados pelo método RSA (de Rivest, Shamir, e Adelman), ainda hoje usado na cifragem (encriptação) das comunicações electrónicas, na Internet. Esse seu trabalho exigiu algum espaço na anterior revista do Expresso para o descrever de forma compreensível e interessante.

Adenda de 10-2-2008: 1º. Prémio ” Raising Public Awareness of Mathematics“ pelos três artigos: Cibersegredos invioláveis, Alice e Bob e Criptografia quântica, Expresso de  8, 22, e 29 de Setembro de 2001.

Actualização de 5-4-2008: a foto inicial de Nuno Crato deixou de ser visualizada; por isso acrescentei uma nova, cuja fonte foi esta entrada
 
  http://matematicanosmata.blogspot.com/2008/03/nuno-crato-matemtico.html ,
 
foto:
 
  http://bp3.blogger.com/_YftE-FnsXBc/R9lX7ewLfPI/AAAAAAAAAJc/M6IHmBo_uWs/s400/227271.jpg .
 
Adenda de 21-4-2008: Nuno Crato lê deste seu livro
 

Problema sobre séries: soma da série zeta alterna

Filed under: Exercícios Matemáticos,Matemática,Problemas,Séries — Américo Tavares @ 8:56 am
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 A série

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}

é convergente. Determine a sua soma. Este exercício tinha sido proposto aqui e um método de resolução foi apresentado nesta entrada. Mas há um método alternativo, baseado no conhecimento da soma de \zeta (2), mais simples.

Resposta

\displaystyle\frac{\pi^2}{12}

PS. de 27-1-2008 : Resolução veja esta entrada

Janeiro 6, 2008

Fracções contínuas generalizadas; o exemplo de ζ(3)

Filed under: Caderno,Fracções Contínuas,Matemática,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 8:32 am
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pdf: ver caderno

No documento seguinte em versão pdf os meus leitores podem ver uma introdução às fracções contínuas generalizadas, bem como o exemplo do desenvolvimento em fracção contínua de \zeta(3). Esta introdução cobre essencialmente a dedução das relações  de recorrência verificadas pelas fracções contínuas

b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =b_{0}+\frac{a_{1}}{b_{1}+}\frac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \frac{a_{n}}{b_{n}+}\cdots

exemplificado pelo desenvolvimento em fracção contínua da série \zeta(3).

Edição de 12 e 13-1-08:

\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =\displaystyle\frac{6}{5-}\frac{1}{117-}\frac{64}{535-}\cdots \frac{n^{6}}{34n^{3}+51n^{2}+27n+5-}\cdots

 

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida cortando a fracção contínua

 

b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},

 pelos elementos a_n,b_n, é uma expressão do tipo

\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right)

 =b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

Os numeradores e denominadores das fracções reduzidas de ordem n,n-1,n-2 verificam:

p_{n}=p_{n-1}b_{n}+p_{n-2}a_{n},

q_{n}=q_{n-1}b_{n}+q_{n-2}a_{n}.

Janeiro 4, 2008

A Demonstração de Euler do Teorema da infinidade de números primos

Filed under: Análise Matemática,Demonstração,Matemática,Teorema,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 8:34 am
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Na entrada anterior referi uma demonstração atribuída a Euclides sobre a inexistênciade um número primo maior do que qualquer outro. Este enunciado é equivalente a:

  • A sucessão dos números primos é ilimitada.
  • Há uma infinidade de números primos, ou seja, o conjunto de números primos é infinito.

Parte-se da  representação da função zeta através do produto de Euler

\displaystyle\zeta\left(s\right)= \displaystyle\prod\limits_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1},

em que os factores do produto varrem todos os números primos p. Se o número  de primos fosse finito, o que aconteceria ao produto de Euler, quando tomamos limites, fazendo tender s através da recta real para 1 por valores superiores?

\displaystyle\lim_{s\rightarrow 1^{+}} \displaystyle\prod\limits_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1} =\displaystyle\prod\limits_{p}\frac{1}{1-\dfrac{1}{p}}

É claro que

\displaystyle\prod\limits_{p}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}}

assumiria um valor finito, se houvesse um número finito de números primos. Mas, como sabemos que a série harmónia é divergente 

\displaystyle\lim_{s\rightarrow 1^{+}} \displaystyle\zeta\left(s\right)=  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n}

obtemos uma contradição, pelo facto de inicialmente termos admitido que haveria um número finito de primos. \blacksquare

Bibliografia consultada: PATTERSON, S. J., An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function, Cambridge Studies In Advanced Mathematics 14, Cambridge University Press, 1988.

Janeiro 3, 2008

Teorema sobre a sucessão dos números primos

Filed under: Matemática,Matemática-Secundário,Teorema,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 8:50 am
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Teorema: Não existe um número primo maior do que todos os outros.

Demonstração: (atribuída a Euclides)

Admitimos que há um número primo maior do que todos os outros e vamos ver que obtemos uma contradição.

Suponhamos então que p era o maior dos primos. Se formarmos o produto de todos os primos

P = 2 x 3 x 5 x … x p ,

vemos que P + 1 teria um divisor primo p’, divisor esse que pertenceria à sucessão

(2, 3, 5, …, p)

de todos os primos, pelo que, em símbolos:

 

 

p’ | (P + 1);

 

 

mas, como p’ é também um dos divisores de P,

p’ | P ,

 p’ dividiria simultaneamente P e P + 1, logo deveria dividir igualmente 1:

p’ | 1.

Este resultado é contraditório, porque o inteiro 1 não é múltiplo de nenhum outro inteiro maior ou igual a 2. Esta contradição resultou do facto de termos admitido que a sucessão dos números primos era limitada. O teorema fica assim demonstrado.  \blacksquare

Adaptado de CALADO, J., Compêndio de Aritmética Racional, Ensino Liceal, 3º ciclo, Ministério da Educação Nacional, Livraria Cruz, Braga, 1967.

 

 

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