Probabilidades com cartas

De um baralho de 52 cartas, correctamente baralhado, tiram-se cartas à sorte. Calcular a probabilidade de ao extrair:

  1. duas cartas serem ambas de Copas;
  2. duas cartas serem uma Dama e um Valete;
  3. três cartas serem todas de Ouros e entre elas figurar o Ás.

Exercício 1, p. 43, J. Antunes Lopes, Probabilidades, Estatística e Erros, Ed. Faculdade de Ciências, Universidade de Coimbra, 1969.

Respostas

  1. 1/17

  2. 8/663

 Resolução do 3.

Há 13 Ouros no baralho, pelo que a probabilidade de sair um Ouro que não o Ás, ao extrair uma carta, é 12/52. Como ficam 51 cartas, ao extrair a 2ª carta, a probabilidade de ser um Ouro, mas sem ser o Ás, é 11/51; e na 3ª extracção, a probabilidade de ser o Ás de Ouro é 1 / 50. Logo, a probabilidade será

\displaystyle\frac{12}{52}\displaystyle\frac{11}{51}\displaystyle\frac{1}{50}=\displaystyle\frac{11}{11050}

No entanto, o Ás poderá ser extraído na 1ª, 2ª ou 3ª tiragem. Por isso a probabilidade pedida é tripla da anterior:

\displaystyle\frac{33}{11050} \qquad\blacktriangleleft

Outro método de resolução:     O mesmo resultado seria obtido através da fracção

    \displaystyle\dfrac{\displaystyle\binom{1}{1}\displaystyle\binom{12}{2}}{\displaystyle\binom{52}{3}}=\dfrac{33}{11050}

O denominador \displaystyle\binom{52}{3}=22100 dá o número de combinações de 52 cartas extraídas 3 a 3. O numerador é o produto de \displaystyle\binom{1}{1}=1 que é a combinação de um Ás de Ouro escolhido de entre apenas 1 por \displaystyle\binom{12}{2}=66 combinações de 12 cartas de Ouro que não Ases, extraídas 2 a 2.

NOTA: A extracção de 3 cartas de uma só vez é equivalente a 3 tiragens sucessivas  sem reposição.

[21-04-2013: Editada a redacção da resolução, corrigido erro nas fracções do produto, mas mantidos os resultados. Acrescentado 2.º método de resolução.]

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Sobre Américo Tavares

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82 respostas a Probabilidades com cartas

  1. Rick diz:

    Olá, estou com dificuldades em resolver o seguinte problema:

    Retiramos 7 cartas de um baralho de 52 cartas convensional bem embaralhado. Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:

    a) As 7 cartas contém exatamente 2 valetes.

    b) As 7 cartas contém exatamente 3 reis.

    c) As 7 cartas contém 2 valetes ou 3 reis.

  2. carolina diz:

    pq a segunda nao é 4/663?

    • Não, porque, considerando, por exemplo, a ordem pela qual saem a Dama e o Valete, em duas tiragem sucessivas sem reposição(*), pode ser 1.º a Dama e depois o Valete ou vice-versa.
      Assim a probabilidade pedida em 2. é

      \dfrac{4}{52}\times\dfrac{4}{51}\times 2=\dfrac{8}{663}

      (*) A extracção de 2 cartas de uma só vez é equivalente a 2 tiragens sucessivas sem reposição.

  3. Flávia diz:

    Odeio essas contas mas até que ajudarm um pouco

  4. Eliane diz:

    Preciso de ajuda estou em dúvida
    Dois alunos estão em uma competição, ganha quem retirar sucessivamente, sem reposição, 4 valetes de um baralho. Qual a probabilidade de o primeiro aluno ganhar na primeira tentativa?
    Eu acho que a resposta é 1/13, mas preciso ter certeza, desde já agradeço a atenção!

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