A relação de Parseval que  toma a forma

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2 = ||f||^2,

quando a função f real, de quadrado integrável  num dado intervalo I, admite um desenvolvimento em série de Fourier relativamente às funções reais ortonormadas (ortogonais e de norma unitária) \phi_i (i\ge0) do tipo

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n \phi_n (x),

em que os coeficientes c_n são os integrais

c_n=(f,\phi_n)=\displaystyle\int_I f(x)\phi_n(x)\;dx

verifica-se, se e só se,

\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }||f-\sum_{k=0}^{n}c_{k}\phi_{k}(x)||=0.

Notas:

  • A norma ||f|| designa o integral ||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}.

  • A fórmula ou relação de Parseval  = ||f||^2=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2 generaliza a notação vectorial x=(x_1,x_2,...,x_N) pois sabe-se que ||x||^2 =\displaystyle\sum_{n=1}^{N}|x_n|^2.

  • O produto interno de duas funções reais f e g é

 (f,g)=\displaystyle\int_I f(x)g(x)\;dx

          e

(f,f)=f^2=\displaystyle\int_If(x)f(x)\;dx=\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx,

||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}.

Se as funções f,g,\phi_n forem complexas, as definições alteram-se para:

  • (f,g)=\displaystyle\int_I f(x)\overline{g(x)}\;dx

  • c_n=(f,\phi_n)=\displaystyle\int_I f(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx

  • ||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I f(x)\overline{f(x)}\;dx} 

A demonstração pode ser vista, por exemplo, em [Apostol, Mathematical Analysis, 2nd ed., Addison-Wesley Publishing Company, 1974, p. 309]. 

No caso do sistema de funções \phi(n) ser apenas ortogonal mas não ter uma norma unitária, os coeficientes c_n são os integrais

c_n=\displaystyle\frac{(f,\phi_n)}{||\phi_n||^2}= \displaystyle\frac{\displaystyle\int_If(x)\phi_n(x)\;dx}{\displaystyle\int_I\phi_n(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx}.

ADENDA de 8-6-2008: poderá ver nesta entrada outra apresentação desta relação.

Nota: aí utilizo uma notação de produto interno de duas funções diferente.