A série dos recíprocos dos quadrados perfeitos ζ(2) = π²/6

pdf: ver caderno 

Nota de 17.01.2010: ver a errata (na página “Caderno”) com as correcções  que devem ser feitas ao pdf.

A série \zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2} foi somada, pela primeira vez, por Euler:

\displaystyle\zeta(2)=\displaystyle\dfrac{\pi^2}{6}

Uma forma de justificar esta fórmula recorre à análise de Fourier. Há vários métodos, mesmo mantendo-nos nós sempre dentro da análise de Fourier. Por exemplo, um deles, é o seguinte:

Começamos por determinar a série de Fourier da função f(x)=\dfrac{x^2}{4} com -\pi\le x\le\pi. Se repararmos que a função é par, basta-nos determinar o coeficiente a_n, visto que o b_n é nulo:

\displaystyle a_n=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\dfrac{x^2}{4}\cos nx\;dx

\displaystyle b_n=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\dfrac{x^2}{4}\sin nx\;dx

Nota: A teoria das séries de Fourier diz-nos que uma função f da variável real x definida no intervalo [a,b], e limitada nesse intervalo, admite um  desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier da forma

\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n \sin nx)

em que os chamados coeficientes de Fourier são respectivamente os integrais a_n e b_n 

\displaystyle a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\;dx

\displaystyle b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\;dx

Para n=0 vem a_0=\dfrac{\pi^2}{6}. Para n=1,2,3,... obtemos

\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\dfrac{2\pi }{n^{2}}\cos nx=\left( -1\right) ^{n}\dfrac{2\pi }{n^{2}}

 donde

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\;dx=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\dfrac{x^{2}}{4}\cos nx\;dx

=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\frac{1}{2\pi }\left( -1\right) ^{n}\dfrac{2\pi }{n^{2}}=\left( -1\right) ^{n}\dfrac{1}{n^{2}}.

 

Daqui resulta que

f(x)=\displaystyle\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n \sin nx)

f(x)=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}+   \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n}\times\cos nx\dfrac{1}{n^2}+0\times\sin nx\right)

f(x)=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}+   \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n}\times\cos nx\dfrac{1}{n^2}\right)

Fazendo agora x=0, como f(0)=0, temos então

f(0)=0=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}+   \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n}\times\cos (n\times 0)\dfrac{1}{n^2}\right)

\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}+   \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n}\dfrac{1}{n^2}\right)=0

ou seja

\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}=   -\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n}\dfrac{1}{n^2}\right) =   \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^2}\right)

e assim  determinamos

\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^2}\right)

Fazendo agora x=\pi, como f(\pi)=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{4}, temos então

f(\pi)=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{4}=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}+   \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n}\times\cos (n\times \pi)\dfrac{1}{n^2}\right)

\displaystyle\frac{{\pi}^2}{4}=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}+   \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n}(-1)^n\dfrac{1}{n^2}\right)

\displaystyle\frac{{\pi}^2}{4}=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}+   \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n^2}\right)

Donde, finalmente:

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n^2}\right)= \displaystyle\frac{{\pi}^2}{4}-\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12} =\displaystyle\frac{{2\pi}^2}{12}=\displaystyle\frac{{\pi}^2}{6} \blacksquare

A derivação da fórmula

\displaystyle\frac{{\pi}^2}{12}= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^2}\right)

não foi necessária para a demonstração do valor de \zeta(2).

Edição de 17.01.2010: corrigidos diversos erros neste post mas não no “Caderno”, em pdf .

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Sobre Américo Tavares

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