A propósito do princípio de indução vimos que se verificava o teorema e corolário seguintes, que agora se repetem. 

Teorema: Para todo o valor de n natural, tem-se

\left( 1+x\right) ^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}

qualquer que seja o valor real de x.

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Demonstração:

O teorema verifica-se para n=0: \displaystyle\sum_{k=0}^{0}\dbinom{0}{k}x^{k}=\dbinom{0}{0}x^{0}=1 e \left( 1+x\right) ^{0}=1, logo \left( 1+x\right) ^{0}=\displaystyle\sum_{k=0}^{0}\dbinom{0}{k}x^{k}. Admitimos agora que o teorema é válido para n, isto é, que \left( 1+x\right)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k} e demonstremos que o é igualmente para n+1. Como \left( 1+x\right) ^{n+1}=\left( 1+x\right) \left(1+x\right) ^{n}, vem

\left( 1+x\right) ^{n+1}=\left( 1+x\right) \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}+\dbinom{n}{k}x^{k+1}.

Manipulamos o segundo membro (lado direito) até obter \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\dbinom{n+1}{k}x^{k}. De facto,

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}+\dbinom{n}{k}x^{k+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dbinom{n}{k-1}x^{k}=\dbinom{n}{0}x^{0}+\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}+\dbinom{n}{k-1}x^{k}\right) +\dbinom{n}{n}x^{n+1}=\dbinom{n+1}{0}x^{0}+\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n+1}{k}x^{k}\right) +\dbinom{n+1}{n+1}x^{n+1}

pela identidade de Pascal e porque

 \dbinom{n+1}{0}=\dbinom{n}{0}=\dbinom{n+1}{n+1}=\dbinom{n}{n}=1.

 Mas, como

\dbinom{n+1}{0}x^{0}+\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n+1}{k}x^{k}\right) +\dbinom{n+1}{n+1}x^{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\dbinom{n+1}{k}x^{k}

provámos, como pretendíamos, que \left( 1+x\right)^{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\dbinom{n+1}{k}x^{k}, e assim acabámos a demonstração. \qquad \blacksquare

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A partir do desenvolvimento de \left( 1+x\right) ^{n} deduz-se imediatamente o de \left( x+y\right) ^{n}.

\bigskip

Corolário: Quaisquer que sejam os reais x e y e o natural n é  válida a fórmula

\left( x+y\right) ^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}y^{n-k}.

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Demonstração: Admitamos que y\neq 0:

\left( x+y\right) ^{n}=y^{n}\left( 1+\frac{x}{y}\right)^{n}=y^{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left( \frac{x}{y}\right)^{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}y^{n-k}.

Como

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}y^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n}{k}x^{k}y^{n-k}+\dbinom{n}{n}x^{n}y^{0},

para y=0, tem-se

 \left( x+y\right)^{n}=x^{n}

 e

 \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{k}y^{n-k}=x^{n},

 ou seja a fórmula ainda é válida \qquad \blacksquare .