Desigualdade complexa útil na majoração de certos integrais de contorno

Publicado em Janeiro 21, 2012 por

No post anterior, ao aplicar o teorema dos resíduos, utilizei a
desigualdade

\dfrac{1}{\left( z^{2}+1\right) ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert z-i\right\vert^{2}\left\vert z+i\right\vert ^{2}}\leq \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert i\right\vert \right\vert ^{2}}\times \dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert -i\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -1\right\vert ^{4}},

que é uma aplicação de duas desigualdades particulares do tipo

\dfrac{1}{\left\vert z+w\right\vert}\leq\dfrac{1}{\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert }\qquad (\ast),

em que z e w são dois complexos quaisquer cuja soma não seja nula. Como exercício, proponho a demonstração de (\ast),  sugerindo que parta da desigualdade triangular

\left\vert z+w\right\vert \leq \left\vert z\right\vert +\left\vert w\right\vert

e obtenha a desigualdade

\left\vert z+w\right\vert \geq \left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert w\right\vert \right\vert .

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Integral real calculado pelo método dos resíduos com aplicação do lema de Jordan

Publicado em Outubro 13, 2011 por

Nesta questão do MSE EMKA perguntou como calcular o integral real

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx\qquad\text{com}\quad a>0

pelos métodos da Análise Complexa. Apresento a tradução da minha resposta.

Seja

f(z)=\dfrac{e^{iaz}}{\left(1+z^{2}\right) ^{2}}=\dfrac{e^{iaz}}{(z-i)^{2}(z+i)^{2}}.

O resíduo de f(z) em z=i é

\begin{aligned}\underset{z=i}{\mathrm{res}}f(z) &=\dfrac{1}{(2-1)!}\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{d}{dz}\left((z-i)^2f(z)\right)\\&=\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{d}{dz}\left( \dfrac{e^{iaz}}{(z+i)^{2}}\right)=\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{iae^{iaz}(z+i)^{2}-e^{iaz}2\left( z+i\right) }{(z+i)^{4}} \\&=-\dfrac{1}{4}i\left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}

Designemos  o contorno da metade superior do disco \left\vert z\right\vert =R, percorrido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (ver figura) por C_{R}. Pelo teorema dos resíduos

\begin{aligned}\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{e^{iax}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=2\pi i\underset{z=i}{\ \mathrm{ res}}f(z)e^{iaz} \\&=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}

Assim,

\begin{aligned}\text{Re}\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{e^{iax}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\text{Re}\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=\text{Re}\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}, \\ \\\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\text{Re}\displaystyle\int_{C_{R}}\frac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}

Quando \left\vert z\right\vert =R, verifica-se (veja identidade mais geral aqui.)

\left\vert \dfrac{1}{(1+z^{2})^{2}}\right\vert =\dfrac{1}{\left\vert z+i\right\vert ^{2}\left\vert z-i\right\vert ^{2}}\leq \dfrac{1}{\left\vert\left\vert z\right\vert -|i\right\vert ^{2}\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert i\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{1}{(R-1) ^{4}}=:M_R,

o que significa que M_R>0 e

\lim_{R\rightarrow \infty }M_R= \lim_{R\rightarrow \infty }\dfrac{1}{(R-1) ^{4}}=0.

Podemos aplicar o lema de Jordan, qualquer que seja a constante positiva a, e concluir que

\lim_{R\rightarrow \infty }\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right)^{2}}dz=0.

Em consequência,

\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}

e

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx=\dfrac{1}{4}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.

Nota: O exercício 3 da página 265 de Complex Variables and Applications por James Brown e Ruell Churchill generaliza este integral para

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{( b^2+x^{2}) ^{2}}dx=\dfrac{1}{4b^3}\pi \left( ab+1\right) e^{-ab}\qquad (a>0,b>0).

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Determinação de uma matriz que transforma um vector noutro

Publicado em Outubro 3, 2011 por

Nesta questão de Miro, no MSE, é dado um vector u=(x,y) e pretende-se determinar uma matriz M tal que Mu=(1,0). A matriz deverá rodar u.

Tradução da minha resposta: o seu problema é equivalente a determinar a transformação entre as coordenadas x,y de um ponto e as coordenadas x',y' do mesmo ponto num sistema de coordenadas rodado em relação ao inicial, seguida da multiplicação pelo factor  k=1/\sqrt{x^{2}+y^{2}}, de tal maneira que  x''=kx'=1 and y''=kx'=0. O ângulo de rotação deve ser \theta =\arctan \dfrac{y}{x} (ver figura).

Da trigonometria sabemos que

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}x'=x\cos \theta +y\sin \theta =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \\y'=-x\sin \theta +y\cos \theta =0\end{array}\right.\end{aligned}

e como

\cos\left(\arctan \dfrac{y}{x}\right) =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

 \sin\left(\arctan\dfrac{y}{x}\right) =\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},

tem-se

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}x''=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ x'=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1\\y''=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ y'=-\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0.\end{array}\right.\end{aligned}

Em notação matricial

\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\\ -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}

Assim

M=\begin{pmatrix}\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\\-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} \end{pmatrix}.

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Interpretação geométrica de ∬dx dy = ∬ r dα dr na transformação de coordenadas cartesianas em polares

Publicado em Setembro 14, 2011 por

Nesta minha resposta a uma questão de hhh, no MSE, apresentei a seguinte interpretação geométrica da transformação de coordenadas cartesianas em polares, no cálculo do integral duplo  do elemento de área, que traduzo.

Por definição do integral duplo de uma função contínua numa região  R fechada e limitada R, no plano xy, tem-se

\displaystyle\iint_R f(x,y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\Delta A_{i},

em que \Delta A_{i} é a área de uma célula rectangular genérica e n o número de células.

Se f(x,y)=1, obtém-se a área de R

\displaystyle\iint_R\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n }\Delta A_{i}.

Se decompusermos R em células com a forma de sector circulares definidos por dois arcos cuja diferença de raios é \Delta r_{i} para a i-ésima célula genérica e por  dois raios que fazem um ângulo \Delta \theta _{i} entre eles, a área da célula, utilizando a respectiva fórmula, é

\dfrac{1}{2}\left[ \left( r_{i}+\dfrac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}-\left( r_{i}-\dfrac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}\right] \Delta \theta_{i}=r_{i}\Delta r_{i}\Delta\theta _{i},

em que r_{i} é o raio do ponto médio da célula. A mesma área de  R pode ser expressa por \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}r_{i}\Delta r_{i}\Delta \theta _{i}, o que, por definição de um integral duplo, é igual a

\displaystyle\iint_R r\;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta.

Figura: i-ésima célula genérica em coordenadas polares com a forma de um sector circular

Esta transformação é definida rigorosamente pelo valor absoluto do  jacobiano da transformação  \left\vert\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert =r do sistema de coordenadas cartesianas no de polares (x=r\cos \theta ,y=r\sin\theta ):

\displaystyle\iint_R\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\displaystyle\iint_R\left\vert\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert \;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta =\displaystyle\iint_R r\;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta.

Cálculo do determinante jacobiano:

\begin{aligned}\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )} &=\det\begin{pmatrix}\partial x/\partial r&\partial x/\partial \theta\\\partial y/\partial r&\partial y/\partial\theta\end{pmatrix}\\&=\det\begin{pmatrix}\cos \theta & -r\sin \theta\\\sin\theta & r\cos \theta\end{pmatrix}\\&=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta\\&=r\end{aligned}

–

Nota: Um raciocínio idêntico que o generaliza  permite intepretar geometricamente a transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas, ao calcular o integral triplo  do elemento de volume.

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Clube SPM — Entrevista ao Presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática Miguel Abreu

Publicado em Setembro 13, 2011 por

(Fonte)

Entrevista a Miguel Abreu (Professor Catedrático  do Departamento de Matemática IST ):

« (…)


O gosto pela matemática começou quando? A partir daí foi em exponencial…


Começou na escola. Tinha jeito e é fácil gostar daquilo que conseguimos fazer bem. Fui aluno no Colégio Militar e tive lá, durante os três anos do ensino secundário, um professor de matemática fantástico: o Dr. José Sena Neves. Marcou-me muito, tanto a nível pessoal como matemático. Ficámos amigos e continuamos a falar regularmente. Depois entrei para engenharia electrotécnica no Instituto Superior Técnico (IST) e ao fim de um ano e meio percebi que só gostava das cadeiras de matemática. Tive a sorte de poder mudar para o curso de matemática que tinha acabado de abrir no IST e a partir daí “foi em exponencial”…


(…)


Lecciona no IST. O que ensina em concreto?


Ensino as cadeiras de cálculo e álgebra comuns à quase totalidade dos cursos do IST, bem como cadeiras de geometria para os alunos de matemática. Nos últimos anos tenho dado frequentemente a cadeira de Cálculo Diferencial e Integral I. Tenho tido assim o privilégio de ensinar aos caloiros do IST o Teorema Fundamental do Cálculo, certamente um dos teoremas mais bonitos e importantes, tanto para a matemática como para toda a ciência em geral.


Faz investigação Matemática em Geometria e Topologia Simplética. Consegue explicar devagarinho o que é ou será melhor passarmos à próxima pergunta?


A Geometria e Topologia Simplética tem origem na Física, mais precisamente nos espaços de fase e transformações canónicas da Mecânica Clássica. Estuda propriedades de generalizações desses espaços e transformações. No caso mais simples de espaços de dimensão 2, que inclui por exemplo o plano e a superfície de uma esfera, a Geometria e Topologia Simpléctica estuda propriedades das transformações destes espaços que preservam área.


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O que faz a “SPM — Sociedade Portuguesa de Matemática” em concreto?


A SPM faz o que está especificado nos seus estatutos: promover o ensino, investigação e divulgação da matemática. Exemplos concretos na área do ensino são a formação de professores, acreditação de manuais escolares e análise das provas nacionais de avaliação. Na investigação, a SPM promove, apoia e divulga a organização de encontros científicos e contribui para a representação da comunidade matemática portuguesa em organizações internacionais, como a União Matemática Internacional e a Sociedade Europeia de Matemática. Na divulgação, temos por exemplo as Tardes de Matemática e o Clube de Matemática da SPM. Temos também actividades transversais a mais do que uma destas vertentes, como as Olimpíadas de Matemática, os Encontros Nacionais e as Escolas de Verão. Temos 3 publicações periódicas (Boletim, Gazeta e Jornal de Matemática Elementar) e lançamos regularmente livros. Apoiamos também as actividades do Seminário Nacional de História de Matemática que é uma secção autónoma da SPM.


(…) »

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Integral duplo calculável rodando os eixos

Publicado em Setembro 7, 2011 por

O cálculo de

\displaystyle\iint_A e^{x+y} \sin(x-y)\mathrm dx\mathrm dy

em que A é a região definida por

A =\{(x,y):0\leq x+y\leq 1,0\leq x-y \leq \pi\}

pode fazer-se por rotação dos eixos, depois de verificar que A é um rectângulo. (Ver esta questão de entrance_exam, no MSE ).

Transcrevo tradução de parte da minha resposta.

A dupla desigualdade 0\leq x+y\leq 1 significa que

\left\{\begin{array}{c}0\leq x+y\\x+y\leq 1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}y\geq -x\\y\leq 1-x \end{array}\right.

e 0\leq x-y\leq \pi significa que

\left\{\begin{array}{c}0\leq x-y\\x-y\leq \pi\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}y\leq x\\y\geq x-\pi. \end{array}\right.

Por isso as condições 0\leq x+y\leq 1 e 0\leq x-y\leq \pi são equivalentes ao sistema de quatro inequações

\left\{\begin{array}{c}y\geq -x\\y\leq 1-x \\y\leq x \\y\geq x-\pi.\end{array}\qquad\right.

A região A  é o rectângulo limitado pelas rectas y=-x, y=1-x, y=x, y=x-\pi   (ver figura).

Para calcular

I:=\displaystyle\iint_{A}e^{x+y}\sin (x-y)\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y

podemos considerar o sistema de coordenadas x',y' rodado de \theta =-\pi /4 em relação ao sistema x,y, como se mostra na figura, o que corresponde à seguinte transformação

\begin{aligned}x^{\prime } &=x\cos \left( -\dfrac{\pi }{4}\right) +y\sin \left( -\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2}\sqrt{2}x-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}y\\y^{\prime } &=-x\sin \left( -\frac{\pi }{4}\right) +y\cos \left( -\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2}\sqrt{2}x+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}y,\end{aligned}

cuja inversa é

\begin{aligned}x&=x^{\prime }\cos \left( -\dfrac{\pi }{4}\right) -y^{\prime }\sin \left( -\dfrac{\pi }{4}\right) =\dfrac{1}{2}\sqrt{2}x^{\prime }+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}y^{\prime }\\y &=x^{\prime }\sin \left( -\dfrac{\pi }{4}\right) +y^{\prime }\cos \left( -\dfrac{\pi }{4}\right) =-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}x^{\prime }+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}y^{\prime }.\end{aligned}

Visto que \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (x^{\prime},y^{\prime })}=1, o integral I transforma-se em

\begin{aligned}I&=\displaystyle\int_{y^{\prime }=0}^{\sqrt{2}/2}\left( \displaystyle\int_{x^{\prime }=0}^{\pi \sqrt{2}/2}e^{\sqrt{2}y^{\prime }}\sin (\sqrt{2}x^{\prime })\mathrm{d}x^{\prime}\right) \mathrm{d}y^{\prime }\\&=\displaystyle\int_{y^{\prime }=0}^{\sqrt{2}/2}\sqrt{2}e^{y^{\prime }\sqrt{2}}\mathrm{d}y^{\prime }\\&=e-1,\end{aligned}

atendendo a que

x-y=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}x^{\prime}+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}y^{\prime }-\left( -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}x^{\prime }+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}y^{\prime }\right) =\sqrt{2}x^{\prime }

x+y=\frac{1}{2}\sqrt{2}x^{\prime }+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}y^{\prime }-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}x^{\prime }+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}y^{\prime }=\sqrt{2}y^{\prime }.

Em alternativa poderíamos dividir A em três regiões, um triângulo (0\le x\le 1/2), um paralelogramo (1/2\le x\le\pi/2) e um triângulo (\pi/2\le x\le (1+\pi)/2), e determinar I nas variáveis originais x,y:

\begin{aligned}I&=\displaystyle\int_{0}^{1/2}\left( \displaystyle\int_{-x}^{x}e^{x+y}\sin (x-y)\mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x\\&+\displaystyle\int_{1/2}^{\pi /2}\left( \displaystyle\int_{-x}^{1-x}e^{x+y}\sin (x-y)\mathrm{d} y\right) \mathrm{d}x\\&+\displaystyle\int_{\pi /2}^{(1+\pi )/2}\left( \int_{x-\pi }^{1-x}e^{x+y}\sin (x-y)\mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x.\end{aligned}

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A SPM no Facebook

Publicado em Setembro 7, 2011 por

A SPM já tem uma página disponível no Facebook. Para aceder ao perfil e ficar a par das últimas acções promovidas pela SPM procure “Sociedade Portuguesa de Matemática” ou clique aqui.

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Soma dos quadrados dos primeiros n números inteiros positivos

Publicado em Setembro 7, 2011 por

Em resposta a uma questão  de George Edison, no MSE, apresentei as seguintes duas demonstrações de

\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Demonstração 1. (Dias Agudo, Cândido da Silva, Matemáticas Gerais III, Exercício 2.5.1). Seja S:=\sum_{k=1}^{n}k^{2}. Considere-se (1+a)^{3}=1+3a+3a^{2}+a^{3} e some-se (1+a)^{3} para a=1,2,\ldots ,n:

\begin{aligned}(1+1)^{3} &=1+3\cdot 1+3\cdot 1^{2}+1^{3} \\(1+2)^{3} &=1+3\cdot 2+3\cdot 2^{2}+2^{3} \\(1+3)^{3} &=1+3\cdot 3+3\cdot 3^{2}+3^{3} \\&\cdots \\(1+n)^{3} &=1+3\cdot n+3\cdot n^{2}+n^{3}\end{aligned}

O termo (1+1)^3 no primeiro membro da primeira soma cancela o termo 2^3 no segundo membro da segunda, (1+2)^3, o 3^3, (1+3)^3, o 4^3, …, o (1+n-1)^3 cancela n^3. Assim

(1+n)^{3}=n+3\left( 1+2+\ldots +n\right) +3S+1

e

S=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},

porque

1+2+\ldots +n=\dfrac{n\left( n+1\right) }{2}.

Demonstração 2. (Balakrishnan, Combinatorics, Schaum’s Outline of Combinatorics, Exercício 1.42 ). De

\dbinom{k}{1}+2\dbinom{k}{2}=k+2\dfrac{k\left( k-1\right) }{2}=k^{2},

obtem-se

\begin{aligned}S &:=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{k}{1}+2\dbinom{k}{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dbinom{k}{1}+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dbinom{k}{2} \\&=\dbinom{n+1}{2}+2\dbinom{n+1}{3} \\&=\dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}.\end{aligned}

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Projecção ortogonal de um ponto sobre uma recta

Publicado em Setembro 3, 2011 por

Problema: São dadas as coordenadas de três pontos A, B e P, num referencial cartesiano (x,y) . Seja r a recta definida por A e B, e seja s a recta perpendicular a r que passa por P. Determinar as coordenadas do ponto I de intersecção das rectas s e r, ou seja a projecção de P sobre r.

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Aproximações racionais a π e medida de irracionalidade

Publicado em Setembro 3, 2011 por

Seja \alpha um número irracional. Diz-se que  \mu é uma medida de irracionalidade de \alpha , (G. Rhin, C. Viola, On the irrationality measure of \zeta(2)) se, qualquer que seja \varepsilon >0, existir um número q_0>0 tal que

\left\vert \alpha -\dfrac{p}{q}\right\vert >\dfrac{1}{q^{\mu +\varepsilon }},

para todos os inteiros p e q, com q>q_0.

No caso de \pi o menor expoente \mu conhecido é 7,6063\dots (mathworld.wolfram link), estabelecido, em 2008, por V. Salikhov, On the irrationality measure of π,  melhorando o anterior de M. Hata (8,016045\dots).

Vem isto a propósito do artigo All Rational Approximations of Pi Are Useless, de Jon McLoone, no Wolfram Blog. Por um pequeno comentário  que fiz, recebi esta T-shirt

Wolfram Mathematica T-shirt.

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