Problema de um leitor — maximização do volume de um cone cuja planificação é um sector circular dado

Destaco desta forma o seguinte enunciado, na grafia brasileira, de um problema que um leitor deixou num comentário:

« Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 3 m de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que seu volume seja máximo ? »

Proposta de resolução:

Seja \alpha o ângulo do sector circular medido em radianos. O comprimento L do arco do sector circular, de raio 3\,\mathrm{m} , é igual a L=3\alpha\,\mathrm{m}. O cone construido com este sector circular tem uma base circular cujo raio r é igual r=\dfrac{L}{2\pi }=\dfrac{3\alpha }{2\pi } e cuja altura h é igual a h=\sqrt{3^{2}-r^{2}}.

Sendo assim, o volume do cone é dado por

V\left( \alpha \right) =\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( \dfrac{3\alpha }{2\pi }\right) ^{2}\sqrt{9-\left( \dfrac{3\alpha }{2\pi }\right) ^{2}}=\dfrac{9}{8}\dfrac{\alpha ^{2}}{\pi ^{2}}\sqrt{4\pi ^{2}-\alpha ^{2}}.

Como a derivada

V'\left(\alpha\right)=\dfrac{9}{8\pi ^{2}}\alpha\dfrac{8\pi  ^{2}-3\alpha^{2}}{\sqrt{4\pi ^{2}-\alpha^{2}}}

tem os seguintes zeros: \alpha =0,\alpha =\pm \dfrac{2}{3}\sqrt{6}\pi, excluindo a solução negativa, e estudando o sinal de V'\left( \alpha \right), conclui-se que o máximo V_{\text{max}} ocorre para \alpha =\dfrac{2}{3}\sqrt{6}\pi , a que corresponde r=\dfrac{3\alpha }{2\pi }=\sqrt{6}\, \mathrm{m} e h=\sqrt{3^{2}-r^{2}}=\sqrt{3}\, \mathrm{m}. O seu valor é V_{\text{max}}=2\sqrt{3}\pi\, \mathrm{m}^3.

Actualização: 20-11-2014

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Corrida em sentidos opostos ao longo de uma circunferência

Na questão Travelling round a circle, panav2000k, colocou, no MSE, um  problema, com o seguinte enunciado (tradução):

A e B partem do mesmo ponto e percorrem, em sentidos opostos, uma circunferência de 4324\text{ }\mathrm{m}. A só arranca quando B já percorreu 716\text{ }\mathrm{m}. Cruzam-se quando A já correu 1927\text{ }\mathrm{m}. Quem chegará primeiro à partida e a que distância estarão um do outro, nessa altura?

Tradução da minha resolução:

Seja t_{1} o tempo de que B necessita para percorrer 716 \textrm{m } a uma velocidade constante v_{B}. Então 716=v_{B}t_{1}. Se t_{2} for o instante em que A e B passam um pelo outro, então

\begin{cases}4324-1927=v_{B}t_{2} \\[2ex] 1927=v_{A}\left( t_{2}-\dfrac{716}{v_{B}}\right) \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}, \end{cases}

em que v_{A} é a velocidade constante de A. Simplificando obtemos

\begin{cases}t_{2}=\dfrac{2397}{v_{B}} \\[2ex] \dfrac{v_{A}}{v_{B}}=\dfrac{1927}{1681}=\dfrac{47}{41} \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}.\end{cases}

Se t_{A} e t_{B} forem os tempos adicionais de que, respectivamente, A e B necessitam para chegar ao ponto de partida, então

\begin{cases}1927=v_{B}t_{B} \\[2ex] 2397=v_{A}t_{A}=\dfrac{47}{41}v_{B}t_{A}, \end{cases}

o que implica que \dfrac{t_{A}}{t_{B}}=\dfrac{51}{47}>1. Assim, B chegará em primeiro lugar à partida. Quando B atinge esse ponto, A ainda necessita de percorrer

\begin{aligned}2397-v_{A}t_{B} &=2397-v_{A}\frac{1927}{v_{B}}=2397-\frac{47}{41}1927 \\&=2397-2209=188\text{ }\mathrm{m}.\end{aligned}

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Radicais imbricados

Apresento de seguida duas questões envolvendo radicais imbricados, recentemente publicadas no MSE, bem como as minhas respostas.

  1. Math Algebra Question with Square Roots , de snivysteel
  2. Simplifying \sqrt[4]{161-72 \sqrt{5}}, de user2612743

Questão 1.

‘Para  a\ge \dfrac{1}{8}, definimos

g(a)=\sqrt[\Large3]{a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}+\sqrt[\Large3]{a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}

Determinar o valor máximo de g(a).’

Deparei-me com esta questão em uma competição das Olimpíadas de Matemática (…)

Resolução

Em geral não podemos converter uma raíz cúbica imbricada numa forma simples. Porém, ambos os radicais em g(a) têm uma forma especial que pode ser simplificada, porque podemos determinar duas potências cúbicas X^3,Y^3 tais que X, Y são irracionais quadráticos conjugados e

a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}=X^{3},\qquad a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}=Y^{3}

Se escrevermos x=\dfrac{8a-1}{3}\geq 0, então a=\dfrac{3x+1}{8} e \dfrac{a+1}{3}=\dfrac{x+3}{8}. Em consequência, o primeiro radicando converte-se em

\begin{aligned}a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}&=\dfrac{3x+1+\left( x+3\right)\sqrt{x}}{8}=\dfrac{1+3\sqrt{x}+3x+\left( \sqrt{x}\right)^{3}}{8}\\&=\dfrac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{3}}{2^{3}}=X^{3},\qquad X=\dfrac{1+\sqrt{x}}{2}=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {8a-1}{3}},\end{aligned}

em que usámos o teorema binomial no caso da potência ser cúbica

\left( 1+c\right) ^{3}=1+3c+3c^{2}+c^{3},

com c=\sqrt{x}:

\begin{aligned}\left(1+\sqrt{x}\right)^{3}&=\left(1+x^{1/2}\right)  ^{3}=1+3x^{1/2}+3x+x^{3/2}\\&=1+3\sqrt{x}+3x+\left(\sqrt{x}\right)^{3}.  \end{aligned}

De forma semelhante, aplicando o teorema binomial a (1-c)^3=(1-\sqrt{x})^3, o segundo radical transforma-se em

\begin{aligned}a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}&=\dfrac{3x+1-\left( x+3\right) \sqrt{x}}{8}=\dfrac{ 1-3\sqrt{x}+3x-\left( \sqrt{x}\right)^{3}}{2^{3}}\\&=\dfrac{\left( 1-\sqrt{x}\right) ^{3}}{2^{3}}=Y^{3},\qquad Y=\dfrac{ 1-\sqrt{x} }{2}=\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {8a-1}{3}}.  \end{aligned}

Agora determinamos facilmente que para a\geq 1/8 a função g(a) é constante

g(a)=\sqrt[3]{X^{3}}+\sqrt[3]{Y^{3}}=X+Y=\dfrac{ 1+\sqrt{x} }{2}  +\dfrac{ 1-\sqrt{x} }{2} =1.

Assim, \max_{a\geq 1/8}g(a)=1.

Questão 2. Simplificar

 \sqrt[4]{161-72 \sqrt{5}}

Resolução

Podemos aplicar duas vezes a seguinte identidade algébrica geral envolvendo radicais imbricados

\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\qquad(1)

para obter

\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}=\sqrt[4]{161-\sqrt{25\,920}}=\sqrt{5}-2.

O cálculo numérico pode efectuar-se como segue:

\begin{aligned}\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}&=\left(\sqrt{\dfrac{161+\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\left( \sqrt{\dfrac{161+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-1}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\sqrt{9-\sqrt{80}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{9^{2}-80}}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-\sqrt{9^{2}-80}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-1}{2}}\\&=\sqrt{5}-2.\end{aligned}

Nota: Se o radical fosse da forma \sqrt{a+\sqrt{b}}, a identidade aplicável seria

\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}.\qquad(2)

Demonstração (De Sebastião e Silva, Silva Paulo, Compêndio de Álgebra II, 1963). Para determinar dois números racionais x,y tais que

\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y},\text{ com }a,b\in \mathbb{Q},

elevamos ao quadrado os dois lados da identidade e rearranjamos os termos

2\sqrt{xy}=a-x-y+\sqrt{b}.

Elevando novamente ao quadrado, obtém-se

4xy=\left( a-x-y\right) ^{2}+2\left( a-x-y\right) \sqrt{b}+b.

Dado que x,y\in \mathbb{Q}, a-x-y=0, o que significa que x,y verificam o sistema de equações

x+y=a,\qquad xy=\dfrac{b}{4}.

Em consequência, são as raízes de

X^{2}-aX+\dfrac{b}{4}=0,

isto é

\begin{aligned}x&=X_{1}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}\\  y&=X_{2}=\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}.\end{aligned}

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Determinação da equação do círculo que passa por três pontos dados

Com a resposta à questão Finding an equation of circle which passes through three points de help e mais um voto na resposta já antiga à questão Vector sum in spherical coordinates, atingi, hoje, os 25000 pontos, no Mathematics Stack Exchange.

2014-06-09 MSE retoc4Na questão Finding an equation of circle which passes through three points, help pretende determinar a equação do círculo que passa nos pontos (5,10), (-5,0),(9,-6), usando a fórmula (x-q)^2 + (y-p)^2 = r^2.

Minha resolução

\left( x-q\right) ^{2}+\left( y-p\right) ^{2}=r^{2}\qquad(0)

Uma forma bastante elementar é usar esta fórmula três vezes, uma para cada ponto. Dado que o círculo passa no ponto (5,10), este verifica (0), isto é

\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}=r^{2}\qquad(1)

De forma semelhante para o segundo ponto (-5,0):

\left( -5-q\right) ^{2}+\left( 0-p\right) ^{2}=r^{2},\qquad(2)

e para (9,-6):

\left( 9-q\right) ^{2}+\left( -6-p\right) ^{2}=r^{2}.\qquad(3)

Temos pois o seguinte sistema de três equações simultâneas nas três incógnitas p,q,r:

\begin{cases}\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}=r^{2}\\\left( -5-q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2}\\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}\qquad(4)

Para o resolver, podemos começar por subtrair a segunda equação da primeira

\begin{cases}\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}-\left( 5+q\right) ^{2}-p^{2}=0\\\left( 5+q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2} \\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Desenvolvendo agora o lado esquerdo da primeira equação obtemos uma equação linear

\begin{cases}100-20q-20p=0 \\\left( 5+q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2} \\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Resolvendo a primeira equação em ordem a q e substituindo nas outras equações, obtemos

\begin{cases}q=5-p \\\left( 10-p\right) ^{2}+p^{2}-\left( 4+p\right) ^{2}-\left( 6+p\right) ^{2}=0 \\\left( 4+p\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Se simplificarmos a segunda equação, esta transforma-se numa equação linear em p apenas

\begin{cases}q=5-p\\48-40p=0\\\left( 4+p\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Reduzimos o nosso sistema quadrático (4) a duas equações lineares mais a equação de r^2. Da segunda equação achamos p=6/5, que substituimos na primeira e na terceira para determinar q=19/5 and r^2=1972/25, isto é

\begin{cases}q=5-\dfrac{6}{5}=\dfrac{19}{5}\\[2ex]  p=\dfrac{6}{5}\\[2ex]r^{2}=\left( 4+\dfrac{6}{5}\right) ^{2}+\left( 6+\dfrac{6}{5}\right) ^{2}=\dfrac{1972}{25}.\end{cases}\qquad(5)

Assim, a equação do círculo é:

\left( x-\dfrac{19}{5}\right) ^{2}+\left( y-\dfrac{6}{5}\right) ^{2}=\dfrac{1972}{25}.

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Mathematics Community Blog

Com o post de ontem Green’s Theorem and Area of Polygons de anorton,
iniciou-se a fase beta do blog associado a Mathematics Stack Exchange.

O autor aplica o teorema de Green para deduzir a fórmula da área de um polígono simples, com n vértices, definidos pelas coordenadas ( x_{k},y_{k}), 0\leq k\leq n+1, percorrido no sentido directo, coincidindo o último com o primeiro, isto é ( x_{n+1},y_{n+1}) =(x_{0},y_{0}):

A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{( x_{k+1}+x_{k})(  y_{k+1}-y_{k}) }{2}

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The first ever calculus textbook

Américo Tavares:

O primeiro livro de ensino do Cálculo

Originally posted on episodic thoughts:

The first ever calculus textbook, according to wikipedia, appears to have been published in 1696 (that’s 318 years ago) by Guillaume de l’Hôpital (following lectures given to him by Leibnitz) under the name Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes.

Handily, it’s available on Gallica. It is explicitely stated at the outset that letters from the start of the alphabet are taken for constants, while the end of the alphabet is reserved for variables. Then on page 4 there’s the very modern-looking statement

La différence de $latex xy$ est $latex ydx+xdy$.

One would say la différentielle nowadays, but otherwise the notation was in nice final form.

Already on page 9 some computations appear that might be demanding for first year students nowadays:

diff_hop1

And while the first few graphs are just what one would expect:

diff_hop_fig1

it does become quite intricate beyond that:

diff_hop_fig2

View original

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Documentário sobre o matemático Grigori Perelman

Divulgo a existência deste vídeo legendado recentemente em inglês.

Página  em português da Wikipédia (e em inglês) sobre este matemático.

 

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Análise Infinitésimal I – Gameiro Pais, IST, 69-70 – Problema 3

analiseinfinitesimalproblema1 001

Transcrevo o problema 3 de Análise Infinitésimal I do IST, 69-70, pelo Professor Dr. Gameiro Pais. Faz parte de uma colecção de 191 problemas, como referi aqui.

Problema 3 – Mostre que num grupo nenhum elemento pode ter mais de um inverso.

 

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Cálculo de (1+tan 20º)(1+tan 25º)

Questão de  user139024, no MSE:

Como calcular \left( 1+\tan 20{{}^\circ}\right) \left( 1+\tan 25{{}^\circ}\right) ?

Minha resolução: É uma consequência da seguinte identidade trigonométrica

\begin{aligned}\left( 1+\tan a\right) \left( 1+\tan b\right) =2+\tan a+\tan b-\dfrac{\tan a+\tan b}{\tan \left( a+b\right) }.\qquad (1)  \end{aligned}

Por um lado, reescrevemos

\begin{aligned}\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}  \end{aligned}

na forma

\tan a\tan b \begin{aligned}=1-\dfrac{\tan a+\tan b}{\tan \left( a+b\right) }.\qquad (2)\end{aligned}

Por outro, fazendo x=\tan a e y=\tan b na identidade algébrica

\begin{aligned}xy=\left( 1+x\right) \left( 1+y\right) -1-x-y\end{aligned}

vem:

\tan a\tan b \begin{aligned}=\left( 1+\tan a\right) \left( 1+\tan b\right) -1-\tan a-\tan b.\qquad (3)\end{aligned}

Se igualarmos (3) e (2), obtemos

\begin{aligned}\left( 1+\tan a\right)\left( 1+\tan b\right) -1-\tan a-\tan b=1-\frac{\tan a+\tan b}{\tan \left( a+b\right) },\end{aligned}

o que prova (1). Para a=20^{{}^\circ},b=25^{{}^\circ} obtemos

\begin{aligned}\left( 1+\tan 20{{}^\circ}\right)\left( 1+\tan 25{{}^\circ}\right)&=2+\tan 20{{}^\circ}+\tan 25{{}^\circ}-\frac{\tan 20{{}^\circ}+\tan 25{{}^\circ}}{\tan \left( 45{{}^\circ}\right) }\\&=2+\tan 20{{}^\circ}+\tan 25{{}^\circ}-\dfrac{\tan 20{{}^\circ}+\tan 25{{}^\circ}}{1}\\&=2.\end{aligned}

(editado)

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Análise Infinitésimal I – Gameiro Pais, IST, 69-70 – Problema 2

analiseinfinitesimalproblema1 001

Transcrevo o problema 2 de Análise Infinitésimal I do IST, 69-70, pelo Professor Dr. Gameiro Pais, que faz parte de uma colecção de 191 problemas, cuja resolução era  feita nas Aulas Práticas. (ver Problema 1 aqui).

Problema 2 – Mostre que num grupo não há mais de um elemento neutro.

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