Numa sondagem recente diz-se que «o erro máximo da Amostra é de 3,06%, para um grau de probabilidade de 95,0%.» Explique o significado desta afirmação, definindo os vários conceitos nela contidos e a relação entre eles.
Problema do mês Problem of the month
Enunciado do Problema
Admita que
. Seja
um número real,
e
. Deduza a identidade
.
- O prazo limite para apresentação das resoluções é 9.09.2009, quer via email acltavares@sapo.pt ou comentando no blogue.
Problem Statement
Suppose that
. Let
be a real number,
and
. Derive the identity
.
- The deadline for submitting solutions is September 9, 2009 either via e-mail acltavares@sapo.pt or comment box.
Criei a página «Testes 1960s» onde penso colocar os meus pontos (testes) do liceu realizados na década de 60.
Mantenho-me em férias.
Eis um exemplo do 6.º Ano, 17-2-1967:
I TEORIA
1) Prove que toda a função que tem derivada finita num dado ponto é contínua nesse ponto.
2) Demonstre que a derivada da soma de duas ou mais funções é sempre igual à soma das derivadas das funções dadas (onde estas tiverem derivada finita).
3) Se lhe pedirem para determinar a derivada duma função, soma das duas funções, num ponto onde uma das funções parcelas não tivesse derivada aplicaria a regra anterior? Diga como faria e justifique.
II PRÁTICA
1) Aplicando a definição de derivada, calcule a derivada da função
2) Calcule os limites laterais da função
para ; e conclua daí se a função é ou não contínua no ponto zero.
3) Um rectângulo está inscrito num semicírculo de raio fixo, . Exprimir a área,
, do rectângulo, como funções da base,
. Determine o valor de
para o qual a área é máxima.
Eis outro do 5.º Ano, 16-3-1966: [acrescentado aqui em 23.06.09]
I
Efectue e simplifique a seguinte expressão:
II
Calcule, com denominador racional, o valor da expressão para
.
III
Resolva em ordem a a equação:
IV
O produto de três números em progressão geométrica é igual a 216. Se multiplicar o primeiro por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtém três números em progressão aritmética e dispostos pela mesma ordem. Calcule os números.
V
é um triângulo equilátero inscrito no círculo de centro em
.
a) Quanto mede o arco ? Porquê ?
b) Como classifica o triângulo ? Justifique a resposta.
c) Se for cm, quanto mede a corda
? Porquê ?
d) Sendo como se disse na alínea anterior, cm, calcule a área do triângulo

VI
Considere um paralelogramo em que a diagonal maior é
. Seja
o ponto de encontro das diagonais e
uma recta perpendicular ao plano do paralelogramo
a) Que posição tem em relação a cada um dos lados do paralelogramo? Justificar a resposta.
b) Considerar os segmentos e
. Que relação de grandeza têm os segmentos
e
? Justificar a resposta.
c) Que relação de grandeza têm os segmentos e
? Justificar a resposta.
d) Quantos planos definem o ponto , os lados do paralelogramo e as suas diagonais? Justificar a resposta.
* * *
Em 25.06.09
Prova de Matemática A – Proposta de correcção da APM
Fonte: Público de 24 de Janeiro de 2009

- Matemática A 635 Proposta de correcção da APM

- Matemática A 635 – Continuação da Correcção
Informo os leitores que vou entrar agora em férias grandes. Entretanto podem ver (e resolver) este meu Problema do mês
I inform my readers that I am starting now my Summer Holidays. Meanwhile you can look at (and solve) this Problem of The Month of mine
Após ter tido uma ocorrência na família, Timothy Gowers debateu a questão, há uma semana, em Swine flu and British public health policy , considerando, entre outros aspectos, que
“a rough rule of thumb would be that if on average each infected person goes on to infect more than one other person then the disease has a positive probability of spreading to a very large number of people, whereas if on average they infect at most one other person then the disease will be contained with probability 1.“
Quais as opiniões dos estatísticos especializados em epidemiologia?
PS. Disponível no JN de 13.06.09 uma infografia Gripe suína, o que é? (associada à notícia Gripe suína alarma o mundo).
Aditamento de 15.06.09: por cá, DN 15.06.09 – Terceiro caso de Gripe A
« (…) A médica suspeitou de uma gripe e uma vez que a criança tinha vindo de Toronto, no Canadá, que pudesse ser a A. Foi transferida para o Hospital de D. Estefânia, em Lisboa pelo INEM e ontem confirmou-se a suspeita. Este é o terceiro caso de AH1N1 em Portugal. Tal como os outros, é “importado”, como referiu ontem a ministra da Saúde, Ana Jorge.
(…)
Apesar de a OMS ter declarado a fase 6 de pandemia, relativamente ao vírus H1N1, “Portugal não se encontra em situação de pandemia”, disse ainda Ana Jorge, notando que “todos os casos até agora são importados”. Ou seja, de pessoas que regressaram de países onde há mais casos da doença.
A propósito do reinício hoje de voos para o México por parte de uma rede de operadores, a ministra lembra que “não há recomendações para as pessoas não viajarem”. »
E no Expresso, 13.06.09
16.06.09: Em português, no CiênciaHoje: 2009-06-15: Transmissão do H1N1 ao homem ocorreu meses antes do actual surto
Opinião e informações em espanhol: Gripe porcina… No es para temerle
Do Spiegel online International: The Inexorable March of H1N1
21.06.09: O Público de 21 Junho 2009 escreve:
« Num estudo publicado na última edição da revista Epidemiology and Infection, Thomas House e Matt Keeling, biólogos da Universidade de Warwick, simularam a disseminação da nova gripe com a ajuda de computadores (…). “Os nossos modelos sugerem que quanto maior for a família — o que significa, em geral, quanto maior for o número de crianças — maiores serão as hipóteses de disseminação de uma infecção”, explica Keeling em comunicado. »
Notícia Vaccinating Children may be effective at helping control spread of influenza aqui .
2.07.09: Gripe A H1N1: Ministério da Saúde anuncia mais três casos, noticias.sapo.pt/lusa/artigo
4.07.09: «Está confirmado nos Açores o primeiro caso de transmissão local do vírus H1N1 » TSF
Novo estudo de Sasisekharan, Tumpey e colegas sobre o H1N1 (notícia de 3.07.09 de cbs13.com e notícia de 2.07.09 de MIT news)

Foto de Centers for Disease Control
5.07.09: casos confirmados a nível mundial — relatório da ECDE.europa.eu
Problema do mês Problem of the month
Enunciado do Problema
Seja
o maior inteiro positivo tal que
Determine, justificando, um majorante de
- Nota: não se permite a utilização de calculadoras ou computadores.
- Sairá vencedora a melhor estimativa justificada.
- Afirmação não demonstrada: 10 é um majorante de
. Encontre um mais pequeno.
- O prazo limite para apresentar resoluções é 19.07.2009. acltavares@sapo.pt
Problem Statement
Let
be the greatest positive integer such that
Find with proof an upper bound for
- Remark: the use of calculators or computers is not allowed.
- The best justified estimate will win.
- Claim: 10 is an upper bound for
. Find a smaller one.
- The deadline for submitting solutions is July 19, 2009. acltavares@sapo.pt
Muitas vezes uma série é telescópica, mas nem sempre é fácil reconhecer esse facto.
Exercício: Sejam e
respectivamente
e
.
Mostre que .
Resolução: a única dificuldade é mostrar que a série é telescópica. Vamos aproveitar a identidade trigonométrica provada neste problema:
.
Dela obtém-se
,
fazendo a substituição ( equivalente a
). Assim, temos
donde
.
Pondo e atendendo à relação algébrica
chegamos efectivamente à série telescópica
Repetindo, muitas vezes uma série é telescópica, mas nem sempre é fácil reconhecer esse facto. Com este exemplo pretendi ilustrar uma situação de dificuldade intermédia, avaliação que é claramente subjectiva porque depende muito de resultados anteriores que se conhecem ou não: neste caso, uma identidade trigonométrica.
“World industrial production, trade, and stock markets are diving faster now than during 1929-30“
Barry Eichengreen, Kevin H. O’Rourke
A Tale of Two Depressions, 4 June 2009, VoxEU.org (*)


Na fonte estes gráficos são acompanhados de uma explicação actualizada.
NOTA 1: Tomei conhecimento destes e de muitos outros gráficos comparativos entre a crise económica actual e a Grande Depressão via post Schlimmer als Große Depression (Update) [Pior do que a Grande Depressão (actualização)], do blogue Verlorene Generation. [Geração Perdida]
NOTA 2: O Nobel Paul Krugman escreveu um pequeno artigo sobre este mesmo assunto, antes desta actualização de dados, It’s 1930 time, de 6.04.09, no seu blogue The Conscience of a Liberal como colunista do The New York Times.
(*) VoxEU.org is partnering with the UK government to collect the views of economists from around the world on what the G20 should do to fix the global economy.











(evolução trimestral)

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