Sondagens: significado de “erro máximo da amostra” e “grau de probabilidade”

Julho 5, 2009 in Estatística, Exercício, Matemática | Tags: , , | Leave a comment

Numa sondagem recente diz-se que «o erro máximo da Amostra é de 3,06%, para um grau de probabilidade de 95,0%.» Explique o significado desta afirmação, definindo os vários conceitos nela contidos e a relação entre eles.

Problema do mês Problem Of The Month #2

Junho 26, 2009 in Matemática, Math, Problem, Problem Of The Month, Problema, Problema do mês | Tags: , , , , | 3 comments

Problema do mês Problem of the month

Enunciado do Problema

Admita que n=1,2,3,\dots . Seja x\ge 0  um número  real, \dbinom{x}{0}=1 e  \dbinom{x}{n}=\dfrac{x\left( x-1\right) \cdots\left( x-n+1\right) }{n!}. Deduza a identidade \dbinom{x}{n}+\dbinom{x}{n-1}=\dbinom{x+1}{n}.

  • O prazo limite para apresentação das resoluções é 9.09.2009, quer via email  acltavares@sapo.pt ou comentando no blogue.

Problem Statement  

Suppose that n=1,2,3,\dots . Let x\ge 0 be a real  number, \dbinom{x}{0}=1 and \dbinom{x}{n}=\dfrac{x\left( x-1\right) \cdots\left( x-n+1\right) }{n!}.  Derive the identity  \dbinom{x}{n}+\dbinom{x}{n-1}=\dbinom{x+1}{n}.

  • The deadline for submitting solutions is September 9, 2009 either via e-mail  acltavares@sapo.pt or comment box.

Criação da página de pontos (testes) de Matemática do liceu da década de 1960. Matemática A da 1.ª fase de 2009

Junho 20, 2009 in Blogue, Exercício, Matemática, Matemática-Básico, Matemática-secundário, Problema, Teste | Tags: , , , , , , | 1 comment

Criei a página «Testes 1960s» onde penso colocar os meus pontos (testes) do liceu realizados na década de 60.

Mantenho-me em férias.

Eis um exemplo do 6.º Ano, 17-2-1967:

I TEORIA

1) Prove que toda a função que tem derivada finita num dado ponto é  contínua nesse ponto.

2) Demonstre que a derivada da soma de duas ou mais funções é sempre igual à soma das derivadas das funções dadas (onde estas tiverem derivada finita).

3) Se lhe pedirem para determinar a derivada duma função, soma das duas funções, num ponto onde uma das funções  parcelas não  tivesse derivada aplicaria a regra anterior? Diga como faria e justifique.

II PRÁTICA

1) Aplicando a definição  de derivada, calcule a derivada da função

y=5x^{2}-2x

2) Calcule os limites laterais da função

Y=\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x^{2}-x}

para x=0; e conclua daí  se a função é  ou não  contínua  no ponto zero.

3) Um rectângulo está  inscrito num semicírculo de raio fixo, r. Exprimir a área, A, do rectângulo, como funções  da base, x. Determine o valor de x para o qual a área é  máxima.

 

 

 

Enunciado 6.º 1967.02.17

Enunciado 6.º 1967.02.17

 

 

Resolução 6.º 1967.02.17 - 1.ª página
Resolução 6.º 1967.02.17 – 1.ª página

Eis outro do 5.º Ano, 16-3-1966: [acrescentado aqui em 23.06.09]

I

Efectue e simplifique a seguinte expressão:

\left[ \left( \dfrac{x+y}{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{3}{x-y}\right) ^{-2}\right] \times \dfrac{3}{\sqrt[3]{2^{3}x^{3}\times \dfrac{1}{y^{-3}}}}

II

Calcule, com denominador racional, o valor da expressão \dfrac{x^2+2}{x^2-2} para x=\sqrt{2}+1.

III

Resolva em ordem a x a equação:

x^2-ax+a\sqrt{a}=\sqrt{a}\cdot x

IV

O produto de três números em progressão geométrica é igual a 216. Se multiplicar o primeiro por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtém três números em progressão aritmética e dispostos pela mesma ordem. Calcule os números.

V

ABC é um triângulo equilátero inscrito no círculo de centro em O.

a) Quanto mede o arco \overset{\frown }{AB}? Porquê ?

b) Como classifica o triângulo CDA? Justifique a resposta.

c) Se for r=3 cm, quanto mede a corda AC? Porquê ?

d) Sendo como se disse na alínea anterior, r=3 cm, calcule a área do triângulo ABC

circulotriangulo

VI

Considere um paralelogramo ABCD em que a diagonal maior é AC. Seja O o ponto de encontro das diagonais e OP uma recta perpendicular ao plano do paralelogramo ABCD

a) Que posição tem OP em relação a cada um dos lados do paralelogramo? Justificar a resposta.

b) Considerar os segmentos PA,PB,PC e PD. Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

c) Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

d) Quantos planos definem o ponto P, os lados do paralelogramo e as suas diagonais? Justificar a resposta.

* * *

Em 25.06.09

Prova de Matemática A – Proposta de correcção da APM

Fonte: Público de 24 de Janeiro de 2009

Matemática A 635 Proposta de correcção da APM
Matemática A 635 Proposta de correcção da APM

Matemática A 635 - Continuação da Correcção
Matemática A 635 – Continuação da Correcção
Conclusão da resolução de Matemática A 1.ª fase de 2009
Conclusão da resolução de Matemática A 1.ª fase de 2009
E aqui a proposta de Resolução da SPM

 

Férias Grandes Summer Holidays

Junho 13, 2009 in Blogue | Tags: | 2 comments

 

arvore

 

Informo os leitores que vou entrar agora em férias grandes. Entretanto podem ver (e resolver) este meu Problema do mês

I inform my readers that I am starting now my  Summer Holidays. Meanwhile you can look at (and solve) this Problem of The Month of mine

Delta Verlag GmbH, Suttgart, Nachdruck 1984

Delta Verlag GmbH, Suttgart, Nachdruck 1984

Gripe A (Swine flu) H1N1 — Abordagem matemática (probabilístico-estatística) à sua disseminação: a opinião de Timothy Gowers

Junho 12, 2009 in Divulgação, Geral | Tags: , | Leave a comment

Após ter tido uma ocorrência na família, Timothy Gowers debateu a questão, há uma semana, em  Swine flu and British public health policy , considerando, entre outros aspectos, que

“a rough rule of thumb would be that  if on average each infected person goes on to infect more than one other person then the disease has a positive probability of spreading to a very large number of people, whereas if on average they infect at most one other person then the disease will be contained with probability 1.“

Quais as  opiniões dos estatísticos  especializados em epidemiologia?

 PS. Disponível no JN de 13.06.09 uma  infografia Gripe suína, o que é?  (associada à notícia Gripe suína alarma o mundo).

Aditamento de 15.06.09: por cá, DN 15.06.09 –  Terceiro caso de Gripe A

« (…) A médica suspeitou de uma gripe e uma vez que a criança tinha vindo de Toronto, no Canadá, que pudesse ser a A. Foi transferida para o Hospital de D. Estefânia, em Lisboa pelo INEM e ontem confirmou-se a suspeita. Este é o terceiro caso de AH1N1 em Portugal. Tal como os outros, é “importado”, como referiu ontem a ministra da Saúde, Ana Jorge.

(…)

Apesar de a OMS ter declarado a fase 6 de pandemia, relativamente ao vírus H1N1, “Portugal não se encontra em situação de pandemia”, disse ainda Ana Jorge, notando que “todos os casos até agora são importados”. Ou seja, de pessoas que regressaram de países onde há mais casos da doença.

A propósito do reinício hoje de voos para o México por parte de uma rede de operadores, a ministra lembra que “não há recomendações para as pessoas não viajarem”. »

E no Expresso, 13.06.09 

Expresso 13.06.09 -- mil novos casos de gripe A (OMS)

Expresso 13.06.09 -- mil novos casos de gripe A (OMS)

16.06.09: Em português, no CiênciaHoje: 2009-06-15: Transmissão do H1N1 ao homem ocorreu meses antes do actual surto

Opinião e informações em espanhol: Gripe porcina… No es para temerle

Do Spiegel online International: The Inexorable March of H1N1

21.06.09: O Público de 21 Junho 2009 escreve:

« Num estudo publicado na última edição da revista Epidemiology and Infection, Thomas House e Matt Keeling, biólogos da Universidade de Warwick, simularam a disseminação da nova gripe com a ajuda de computadores (…). “Os nossos modelos sugerem que quanto maior for a família — o que significa, em geral, quanto maior for o número de crianças — maiores serão as hipóteses de disseminação de uma infecção”, explica Keeling em comunicado. »

 

Notícia Vaccinating Children may be effective at helping control spread of influenza  aqui .

2.07.09: Gripe A H1N1: Ministério da Saúde anuncia mais três casos, noticias.sapo.pt/lusa/artigo

4.07.09: «Está confirmado nos Açores o primeiro caso de transmissão local do vírus H1N1 » TSF

Novo estudo de Sasisekharan, Tumpey e colegas sobre o H1N1  (notícia de 3.07.09 de cbs13.com e notícia de 2.07.09 de MIT news)

Foto de Centers for Disease Control
Foto de Centers for Disease Control

5.07.09: casos confirmados a nível mundial — relatório da ECDE.europa.eu

http://ecdc.europa.eu/en/files/pdf/Health_topics/Situation_Report_090705_1700hrs.pdf

http://ecdc.europa.eu/en/files/pdf/Health_topics/Situation_Report_090705_1700hrs.pdf

Problema do mês Problem Of The Month #1

Junho 11, 2009 in Matemática, Math, Problem, Problem Of The Month, Problema do mês | Tags: , , , , , | 7 comments

Problema do mês Problem of the month

Enunciado do Problema  

Seja m o maior inteiro positivo tal que \dfrac{1}{13^m}\dbinom{13^5}{3^7}\in\mathbb{N}.  Determine, justificando, um majorante de m.

  • Nota: não  se permite a utilização de calculadoras ou computadores.
  • Sairá vencedora  a melhor estimativa  justificada. 
  • Afirmação não demonstrada: 10   é um majorante de m. Encontre um mais pequeno. 
  • O prazo limite para apresentar resoluções é 19.07.2009. acltavares@sapo.pt

Problem Statement

Let m be the greatest positive integer such that \dfrac{1}{13^m}\dbinom{13^5}{3^7}\in\mathbb{N}. Find with proof an upper bound for m.

  • Remark: the use of calculators or computers is not allowed.
  • The best justified estimate will win.
  • Claim: 10 is an upper bound for m. Find a smaller one.
  • The deadline for submitting solutions is July 19, 2009. acltavares@sapo.pt

Série telescópica irracional e trigonométrica

Junho 9, 2009 in Cálculo, Exercício, Matemática, Matemática Gerais, Séries, Trigonometria | Tags: , | Leave a comment

Muitas vezes  uma série é telescópica, mas nem sempre é fácil reconhecer esse facto.

Exercício: Sejam a_n e b_n respectivamente

a_n=\arcsin (b_n)+\arctan (n-1)-2\sqrt{\arctan (n)\cdot\arcsin (b_{n-1})}

e 

 b_n=\dfrac{n}{\sqrt{1+n^2}}.

Mostre que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{a_n}=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.

Resolução: a única dificuldade é mostrar que a série é telescópica. Vamos aproveitar a identidade trigonométrica  provada  neste problema:

\arctan\left( \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\right) =\arcsin u.

Dela obtém-se

\arctan \left( x\right) =\arcsin \left( \sqrt{\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}}\right) ,

fazendo a substituição u=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}} ( equivalente a x=\dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}). Assim, temos

 \arcsin (b_n)=\arcsin\left(\dfrac{n}{\sqrt{1+n^2}}\right) =\arctan \left( n\right)

\arcsin (b_{n-1})=\arcsin\left(\dfrac{n-1}{\sqrt{1+{n-1}^2}}\right) =\arctan \left( {n-1}\right)

donde

a_n=\arctan \left( n\right) +\arctan (n-1)-2\sqrt{\arctan (n)\cdot\arctan \left( {n-1}\right) }.

Pondo u_{n}=\arctan \left( n\right) e atendendo à relação algébrica

\sqrt{u_{n}+u_{n-1}-2\sqrt{u_{n}u_{n-1}}}=\sqrt{u_{n}}-\sqrt{u_{n-1}}

chegamos efectivamente à série telescópica

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{a_{n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{u_{n}+u_{n-1}-2\sqrt{u_{n}u_{n-1}}}

=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{u_{n}}-\sqrt{u_{n-1}}=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{u_{N}}-\sqrt{u_{0}}

=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{\arctan \left( N\right) }-\sqrt{\arctan \left( 0\right) }=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{\arctan \left( N\right) }=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}\blacktriangleleft

Repetindo, muitas vezes  uma série é telescópica, mas nem sempre é fácil reconhecer esse facto. Com este exemplo pretendi ilustrar uma situação de dificuldade intermédia, avaliação que é claramente subjectiva porque depende muito de resultados anteriores que se conhecem ou não: neste caso, uma identidade trigonométrica.

Comparação gráfica entre a crise da economia global e a Grande Depressão

Junho 8, 2009 in Geral, Notícia | Tags: , | 6 comments

“World industrial production, trade, and stock markets are diving faster now than during 1929-30“

Barry Eichengreen, Kevin H. O’Rourke 

A Tale of Two Depressions, 4 June 2009, VoxEU.org (*)

Na fonte estes gráficos são acompanhados de uma explicação actualizada.

NOTA 1: Tomei conhecimento destes e de muitos outros gráficos comparativos entre a crise económica actual e a Grande Depressão  via  post  Schlimmer als Große Depression (Update) [Pior do que a Grande Depressão (actualização)], do blogue Verlorene Generation. [Geração Perdida]

NOTA 2: O Nobel Paul Krugman escreveu um pequeno artigo sobre este mesmo assunto, antes desta actualização de dados,  It’s 1930 time, de 6.04.09, no seu blogue The Conscience of a Liberal  como colunista do The New York Times.

(*) VoxEU.org is partnering with the UK government to collect the views of economists from around the world on what the G20 should do to fix the global economy.

Bem-vindo(a)!

Entusiasta por Matemática

Os dias prósperos não vêm por acaso. São granjeados, como as searas, com muita fadiga e com muitos intervalos de desalento Camilo Castelo Branco

Problema do mês Problem of the month

Caderno do problemas|teoremas, edição de 6.6.09

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Álgebra do 6.º e 7.º do liceu

Álgebra do 6.º do liceu

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Prémio José Sebastião e Silva da SPM

Citações

The point of rigour [in mathematical education] is not to destroy all intuition; instead, it should be used to destroy bad intuition while clarifying and elevating good intuition. It is only with a combination of both rigorous formalism and good intuition that one can tackle complex mathematical problems; one needs the former to correctly deal with the fine details, and the latter to correctly deal with the big picture.

"A questão do rigor [na educação matemática] não é destruir a intuição, mas apenas a má, aumentando a boa. Só combinando o formalismo do rigor com a boa intuição se conseguem tratar problemas matemáticos; o rigor é indispensável para abordar correctamente os pormenores mais delicados e a intuição para se ter uma correcta visão de conjunto."

Terence Tao

There is no branch of mathematics, however abstract, which may not some day be applied to phenomena of the real world.

"Não ná nenhum ramo de Matemática, por mais abstracto que seja, que um dia não possa vir a ser aplicado aos fenómenos do mundo real."

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

A common mistake people make when trying to answer a mathematical question is to work from first principles: it is almost always easier to modify something you already know.

"Um erro comum cometido pelas pessoas ao tentarem responder a uma questão matemática é trabalhar a partir dos primeiros princípios: quase sempre é mais fácil modificar algo que já se sabe."

The Tricki

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