Comprimento de um arco rectificável

Fevereiro 3, 2010 in Análise, Cálculo, Demonstração, Matemática | Tags: | Publicar um comentário

Admitamos que temos uma curva paramétrica definida pelas funções

x=f(t) e y=g(t)

e que pretendemos determinar o seu comprimento entre \left( f(t_{0}),g(t_{0})\right) e \left( f(t_{1}),g(t_{1})\right) . Dividamos o intervalo \left[ t_{0},t_{1}\right] em n sub-intervalos \left[ \tau_{k-1},\tau _{k}\right] , em que k=1,2,\ldots ,n, t_{0}=\tau _{0} e t_{1}=\tau _{n}, e unamos os pontos \left( f(\tau _{0}),g(\tau_{0})\right) ,\left( f(\tau _{1}),g(\tau _{1})\right) ,\ldots ,\left( f(\tau _{k}),g(\tau _{k})\right) ,\ldots ,\left( f(\tau _{n}),g(\tau_{n})\right) por uma linha poligonal inscrita na curva paramétrica. O comprimento desta linha é dado por

L_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\left( f(\tau _{k})-f(\tau _{k-1})\right) ^{2}+\left( g(\tau _{k})-g(\tau _{k-1})\right) ^{2}}.

Se existir L=\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }L_{n} a curva é rectificável entre \left( f(t_{0}),g(t_{0})\right) e \left( f(t_{1}),g(t_{1})\right) , obtendo-se por este processo o comprimento da curva. Se as derivadas f^{\prime }(t) e g^{\prime }(t) forem definidas e contínuas em \left[ t_{0},t_{1}\right] , pelo teorema do valor médio (ou de Lagrange) hão-de existir n^{2} números reais a_{k}\in \left[ \tau _{k-1},\tau _{k}\right] e b_{k}\in\left[ \tau _{k-1},\tau _{k}\right] tais que

L_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\left[ f^{\prime }(a_{k})\right] ^{2}+\left[g^{\prime }(b_{k})\right] ^{2}}\left( \tau _{k}-\tau _{k-1}\right) .

No processo de passagem ao limite, este somatório transforma-se no integral

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ f^{\prime }(t)\right] ^{2}+\left[ g^{\prime }(t)\right] ^{2}}dt=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left( \dfrac{dx}{dt}\right) ^{2}+\left( \dfrac{dy}{dt}\right) ^{2}}dt

que nos dá o comprimento do arco de curva entre t_{0} e t_{1}.

No caso particular de y=f(x) obtemos

L=\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{1}}\sqrt{1+\left( \dfrac{dy}{dx}\right) ^{2}}dx.

Repito agora o cálculo do perímetro da astróide apresentado nesta entrada

Exemplo: a hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto P de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróide  e as suas equações paramétricas são

x=a\cos^{3}t

y=a\sin^{3}t

e a cartesiana,

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.

O gráfico, para a=1, é o seguinte

Sabe-se que, se a derivada de uma função real f existir e for contínua no intervalo \lbrack a,b\rbrack , o gráfico de f é rectificável e o seu comprimento L, entre os dois pontos de abcissa a e b, é dado por

L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[ f^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\; dx (1)

ou, se x,y forem funções reais da variável real t

x=\varphi (t)

y=\psi (t),

com primeira derivada contínua, então

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ \psi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\; dt (2).

Determine o perímetro da curva representada (a=1).

Resolução:

O perímetro L da curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, é quatro vezes o valor do integral seguinte

I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}+\left[ \left( \sin^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}}\; dt =\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left( -3\cos^2 t\cdot\sin t\right) ^{2}+\left( 3\sin^2 t\cdot\cos t\right) ^{2}}\; dt

=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{9\cos^2 t\cdot\sin^2 t}\; dt=3\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cdot\cos t\; dt =3\left[ \dfrac{\sin ^{2}t}{2}\right] _{0}^{\pi /2}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2};

logo

L=4I=6.

 

Livro Proofs from THE BOOK de Martin Aigner & Günter Ziegler

Fevereiro 1, 2010 in Matemática | Publicar um comentário

Comprei a 4.ª edição inglesa do livro de Martin Aigner e Günter Ziegler Proof from THE BOOK, inicialmente publicado em 1998 e que já vai em 13 traduções. A edição alemã tem o título Das BUCH der Beweise, a francesa, Raisonnements divins, a portuguesa, As provas estão n’O Livro, da Editora Edgard Blücher, São Paulo 2002.

No prefácio os autores explicam o sentido da palavra “Livro”,  do título:  Paul  Erdős falava do Livro, no qual Deus preservava as  provas perfeitas de teoremas matemáticos.

Os capítulos compreendem demonstrações da  Teoria dos Números, Geometria, Análise, Combinatória e Teoria dos Grafos.

Esta edição do  livro – destinado a alunos do início da licenciatura — é apresentada pela editora Springer desta maneira:

This revised and enlarged fourth edition of “Proofs from THE BOOK” features five new chapters, which  treat classical results such as the “Fundamental Theorem of Algebra”, problems about tilings,  but also quite recent proofs, for example of the Kneser conjecture in graph theory. The new edition also presents further improvements and surprises, among them a new proof for “Hilbert’s Third Problem”.  

Quanto a recenções, a mais completa é a de Daniel H. Ullman, em NOTICES OF THE AMS, AUGUST 1999, pp. 789-791

Inside Proofs From The Book is indeed a glimpse of mathematical heaven, where clever insights and beautiful ideas combine in astonishing and glorious ways. There is vast wealth within its pages, one gem after another. Some of the proofs are classics, but many are new and brilliant proofs of classical results. Still others are recent results.

O capítulo 8 — Three times \pi^2/6 — é dedicado ao resultado clássico de Euler

\displaystyle\sum_{n\ge 1}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6},

do qual apresenta três demonstrações: a de um exercício do livro Number Theory de William LeVeque,  a de Beukers, Calabi e Kolk, e a de uma série des exercícios de um livro de problemas de Akiva Yaglom e Isaak Yaglom.

O Apêndice deste mesmo capítulo aborda brevemente a função zeta de Riemann. Sobre a irracionalidade dos seus valores, nos inteiros positivos, os autores escrevem (os links foram acrescentados por mim):

It has been known for a long time that \zeta (s) is a rational of \pi^s, and hence irrational, if s is an even integer s\ge 2 (…). In contrast, the irrationality of \zeta (3) was proved by Roger Apéry only in 1979. Despite considerable effort the picture is rather incomplete about \zeta (s) for the other odd integers, s=2t+1\ge 5. Very recently, Keith Ball and Tanguy Rivoal  proved that infinitely many of the values \zeta (2t+1) are irrational.  (…) Wadim Zudilin  has proved that at least one of the four values \zeta (5),\zeta (7),\zeta (9) and \zeta (11) is irrational. (…) 

  

 

Problema sobre pontos colineares (em linha recta) do blogue Matemativerso

Janeiro 27, 2010 in Exercício, Geometria, Matemática, Matemática-Básico, Problema | Tags: , , , | Publicar um comentário

Do blogue Matemativerso (alterei ligeiramente a notação):

« A, B, C e D são pontos de uma linha recta, sendo D o ponto médio do segmento BC. Os comprimentos dos segmentos AB, AC e BC são 10, 2 e 12, respectivamente. Qual é o comprimento do segmento AD? »

Minha resposta: aqui.

 

Algumas notas de cálculo — estudo do artigo de Alfred van der Poorten sobre a irracionalidade de zeta de 3, ζ(3), segundo Roger Apéry

Janeiro 21, 2010 in Cálculo, Matemática, Séries, Teoria dos Números | Tags: | 1 comentário

Sobre Roger Apéry pode ver em inglês ou francês a biografia escrita por François Apéry, The Mathematical Intelligencer, vol. 18, n° 2, 1996, pp. 54-61.

Adenda de 22.01.10: Foi no livro de Ian Stewart, Os Problemas da Matemática, (Gradiva, 2.ª edição, 1996), que tomei conhecimento da existência da demonstração de \zeta \left( 3\right), no qual se lê:

« A função \zeta \left( x\right)  é agora conhecida como a função zeta de Riemann. Depois de inúmeras dificuldades, Euler conseguiu somar a série para certos valores de x. Em 1734 descobriu que \zeta \left( 2\right) =\pi ^{2}/6. Mais tarde provou que, para todo o n par, \zeta \left( n\right) é  um múlltiplo racional de \pi ^{n}. Podemos deduzir daqui que \zeta \left( n\right) é irraqcional (de facto, transcendente) para todo o n par. Até muito recentemente, ninguém podia dizer nada deste teor para n ímpar. Devem imaginar a reacção quando, nas Journées Arithmétiques de Marseille-Luminy, em Junho de 1978, R. Apéry, da Universidade de Caen, foi anunciado para falar ‘Sobre a irracionalidade de \zeta \left( 3\right) ‘ . Alf van der Poorten, que estava lá, descreve a conferência nestes termos: ‘O cepticismo era geral. A palestra tendeu a fortalecer esta visão de completa incredulidade. Aqueles que a escutaram sem interesse, ou que estavam limitados por não serem francófonos, pareciam ouvir apenas uma sequência de asserções pouco prováveis’  »

SpringerLink

Estudei o artigo (*) de Alfred van der Poorten  (actualmente Professor jubilado de Matemática) A proof that Euler Missed… Apery’s Proof of the Irrationality of \zeta (3), The Mathematical Intelligencer, Nº 1 (1979) pp. 195-203 (pdf), para o que necessitei de fazer alguns cálculos, dos quais apresento os do parágrafo 3.

– Nota 1 –

Demonstração da identidade

\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}.\;(1)

Fazendo

A_{0}=\dfrac{1}{x}

e

A_{K}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})},

vem

A_{k-1}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-2}a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-2})(x+a_{k-1})},

donde

A_{k-1}-A_{k}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})} -\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}

=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})}\dfrac{(x+a_{k})}{(x+a_{k})}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}

=\dfrac{\left( a_{1}a_{2}...a_{k-1}\right) x+(a_{1}a_{2}...a_{k-1})a_{k}-a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}

=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}\qquad (2)

Por este motivo,

\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}A_{k-1}-A_{k}\qquad (3)

mas, como

\displaystyle\sum_{k=1}^{K}A_{k-1}-A_{k} =A_{0}-A_{1}+A_{1}-A_{2}+...+A_{K-2}-A_{K-1}+A_{K-1}-A_{K}

=A_{0}+\left( -A_{1}+A_{1}\right) +\left( -A_{2}+A_{2}\right) +... +\left( -A_{K-2}+A_{K-2}\right) +\left( -A_{K-1}+A_{K-1}\right) -A_{K}

=A_{0}+0+0+...+0+0-A_{K}

=A_{0}-A_{K}

=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\qquad (4)

comparando com (3), assim se completa a demonstração de (1).

– Nota 2 –

Dedução de

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }.\quad (5)

Para

x=n^{2}\qquad (6)

e

a_{k}=-k^{2}\qquad (7)

na identidade (1), vem, do lado esquerdo:

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}\right) _{\substack{ x=n^{2} \\ a_{k}=-k^{2}}}

=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1^{2}\right) \left( -2^{2}\right) ...\left[ -\left( k-1\right) ^{2}\right] }{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-k^{2})}

=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\overset{k-1\text{ factores}}{\overbrace{\left( -1\right) \left( -1\right) ...\left( -1\right) }}\;1^{2}2^{2}...\left( k-1\right) ^{2}}{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-k^{2})}

=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left[ 1\cdot 2\cdot ...\cdot\left( k-1\right) \right] ^{2}}{(n^{2}-1^{2})...(n^{2}-k^{2})}

=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{(n^{2}-1^{2})...(n^{2}-k^{2})}\qquad (8)

e, do lado direito:

\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\right) _{_{\substack{ x=n^{2} \\ a_{k}=-k^{2}}}}

=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1^{2}\right) \left( -2^{2}\right) ...\left( -K\right) ^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}

=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\overset{K\text{ factores}}{\overbrace{\left( -1\right) \left( -1\right) ...\left( -1\right) }}\;1^{2}2^{2}...K^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}

=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{k}(1\cdot 2\cdot ...\cdot K)^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}

=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{k}K!^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}\qquad (9)

como se queria deduzir, para K=n-1.

Para demonstrar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}\qquad (10)

falta, portanto, deduzir

\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}};

ou seja, simplificando

\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}}.\qquad (11)

Para o denominador do membro esquerdo vem, sucessivamente:

\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right]

=(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)...(n-n+1)(n+n-1)

=\left[ (n-1)(n-2)...2\cdot 1\right] \left[ (n+1)(n+2)...(2n-1)\right]

=\left( n-1\right) !\dfrac{1}{n!}\left[ n!(n+1)(n+2)...(2n-1)\right]

=\dfrac{\left( n-1\right) !\left( 2n-1\right) !}{n!}=\dfrac{\left( n-1\right) !\left( 2n-1\right) !}{n\left( n-1\right) !}=\dfrac{\left( 2n-1\right) !}{n}

=\dfrac{\left( 2n-1\right) !}{n}\dfrac{2n}{2n}=\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}.

Em resumo:

\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] =\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}.

e

\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}}=\dfrac{2n^{2}\left( n-1\right) !^{2}}{\left( 2n\right) !}

=\dfrac{2n^{2}\left( n-1\right) !^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}=\dfrac{2\left[ n\left( n-1\right) !\right] ^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}

=\dfrac{2n!^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}=\dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}}

e, portanto

\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}};

donde, se obtem a identidade atrás, que se repete:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}

– Nota 3 –

Dedução de [no original falta o factor 2 do segundo membro. No entanto, se \varepsilon _{n,k} fosse definido com este factor no denominador, a fórmula seria a que aparece no original.]

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right) ,\qquad (12)

em que

\varepsilon _{n,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-k\right) !}{k^{3}\left( n+k\right) !}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}},.

Partindo desta definição temos

\varepsilon _{n-1,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-1-k\right) !}{k^{3}\left( n-1+k\right) !}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}},

e, sucessivamente

\varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-k\right) !}{k^{3}\left( n+k\right) !}-\dfrac{k!^{2}\left( n-1-k\right) !}{k^{3}\left( n-1+k\right) !}

=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\left[ \dfrac{\left( n-k\right) !}{\left( n+k\right) !}-\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\right]

=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\left[ \dfrac{\left( n-1\right) \left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) \left( n-1+k\right) !}-\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\right]

=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\left( \dfrac{n-k}{n+k}-1\right)

=-\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\dfrac{2k}{n+k}

=-\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\dfrac{2}{n+k}

=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) !};\qquad (13)

mas como

n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) =n\left( n-1\right) \left( n+1\right) ...\left( n-k\right) \left( n+k\right)

=n\left[ \left( n-1\right) ...\left( n-k\right) \right] \left[ \left( n+1\right) ...\left( n+k\right) \right]

=n\dfrac{\left( n-1\right) !}{\left( n-1-k\right) !}\dfrac{\left( n+k\right) !}{n!}

=n\dfrac{\left( n-1\right) !}{n\left( n-1\right) !}\dfrac{\left( n+k\right) !}{\left( n-1-k\right) !}

=\dfrac{\left( n+k\right) !}{\left( n-1-k\right) !},\qquad (14)

resulta

\varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) !}

=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=-2\left[ \dfrac{k\left( k-1\right) !}{k}\right] ^{2}\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=-2\dfrac{\left( k-1\right) !^{2}}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) },\qquad (15)

donde

\left( -1\right) ^{k}n\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =2\dfrac{\left( -1\right) ^{k}\left( -1\right) \left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=2\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=2\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) };\qquad (16)

somando ambos os membros, vem

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}n\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=2\left( \dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}\right) ,\qquad (17)

ou

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right) ;

e, finalmente

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)

como se pretendia deduzir.

– Nota 4 –

Dedução de

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right) \qquad (18)

Usando a notação de Iverson, o lado esquerdo pode escrever-se

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)

=\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert

Esta notação significa neste caso

\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert =\left\{\begin{array}{ccccc}1 & & \text{se} & & k\leq n-1 \\ 0 & & \text{se} & & k>n-1\end{array}\right.

Agora já podemos trocar a ordem dos dois somatórios

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert\left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert

O somatório do lado direito, no qual se utiliza a notação de Iverson, atendendo a que k\leq n-1 significa n\geq k+1, escreve-se na notação habitual

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)

Provou-se que

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \qquad (19)

Mas como

\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =\left( -1\right) ^{k}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right)

conclui-se que

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right) .\qquad (20)

– Nota 5 –

Dedução de

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}\qquad (21)

Atendendo à definição de \varepsilon _{n,k}

\varepsilon _{n,k}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}}

obtém-se

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}

Mas

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right) =2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)

logo

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)

Agrupando agora os dois somatórios da mesma quantidade que figuram nos dois membros desta identidade, obtemos

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}+(1+4)\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}

isto é

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}

– Nota 6 –

Dedução de

\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}\qquad (22)

Vai-se mostrar que

\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=0

Em virtude de no intervalo 1\leq k\leq N se ter

k^{3}\dbinom{N}{k}\geq N

e

\dbinom{N+k}{k}\geq \dbinom{N+1}{1}=N+1,

então

k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}\geq N\left( N+1\right) ;

donde resulta que

\left\vert \dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}\right\vert \leq \dfrac{1}{2N\left( N+1\right) }

e, portanto,

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left\vert \dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}\right\vert \leq \dfrac{N}{2N\left( N+1\right) }=\dfrac{1}{N\left( N+1\right) }\rightarrow 0\ \ ,

 quando N\rightarrow \infty .

Se a soma dos termos em valores absolutos converge para 0, então também o faz a própria soma. Fazendo agora em

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}

N tender para \infty , obtém-se, como pretendíamos

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}.

A este respeito R. Apéry escreveu em  Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 (1979), 11–13:

« Pour étudier \zeta 3, nous posons:

\dfrac{1}{n^{3}}\equiv \dfrac{1}{n\left( n^{2}-1\right) }-\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1\right) \left( n^{2}-4\right) }+\cdots +\dfrac{\left( -1\right) ^{k}\left( k!\right) ^{2}}{n\left( n^{2}-1\right) \cdots \left( n^{2}-\left( k-1\right) ^{2}\right) }+\cdots

L’ utilisation de la diagonale u_{n,n} donne la série

\zeta 3=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{n}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}

qui à  defaut de prouver immédiatement l’ irrationalité de \zeta3 converge mieux que \displaystyle\sum \dfrac{1}{n^{3}}. »

(*) A. van der Poorten, A proof that Euler missed… Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3) (An informal report), Math. Intelligencer 1:4 (1978/79), 195–203

Exemplo geométrico de determinação de um máximo por um método algébrico

Janeiro 15, 2010 in Cálculo, Geometria, Identidade matemática, Matemática, Optimização | Tags: , | 2 comentários

Suponhamos que temos dois números reais positivos x e y, mas que só conhecemos a sua soma s=x+y. Quais hão-de ser esses números, de maneira que o seu produto p=xy seja o maior possível?

O leitor pode imaginar que x e y são os lados de um rectângulo, s é  o seu semi-perímetro e p, a área.

Exemplo geométrico: rectângulo(s) e quadrado

A 1.ª figura representa um rectângulo e um quadrado com o mesmo perímetro;

 a 2.ª, o gráfico de p=xy=x\left( s-x\right) =sx-x^{2} (com s=4)

Uma simples aplicação de derivadas permite-nos concluir que há-de ser quando x=y=s/2. De facto, p=xy=x\left( s-x\right) =sx-x^{2}, pelo que, sendo que a derivada p^{\prime }(x)=s-2x, se tem p^{\prime}(x)=0, quando x=s/2; donde y=s-x=s-s/2=s/2=x. Estes valores correspondem ao máximo de p, porque s-2x>0, para x<s/2 e s-2x<0, para x>s/2.

Logo, de todos os rectângulos que têm um dado perímetro, o quadrado é o que tem a área máxima.

Mas poderemos chegar à mesma conclusão através de um raciocínio meramente algébrico. A identidade

\left( \dfrac{x+y}{2}\right) ^{2}-xy=\left( \dfrac{x-y}{2}\right) ^{2}

permite ver que se x\neq y

\left( \dfrac{x+y}{2}\right) ^{2}-xy>0

pelo que o máximo de p=xy, sujeito à  restrição x+y=s, ocorre para x=y=\dfrac{s}{2}.

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